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Variaciones y permutaciones. El orden importa

Autor:Javier Cayetano Rodríguez

¿De cuántas formas pueden colocarse?

Cuando en clase vamos a elegir al delegado y al subdelegado, podríamos preguntarnos

¿cuántas formas diferentes hay de elegirlos?
Contar parece sencillo, pero cuando hay muchos casos posibles, nos resultará complicado si no tenemos un procedimiento para hacerlo. Afortunadamente, las matemáticas nos pueden echar una mano en estas cosas. Hay toda una rama de las matemáticas dedicada a contar posibilidades. Se denomina combinatoria. Para responder a nuestra pregunta si, por ejemplo, hay 20 alumnos en clase, tenemos 20 posibilidades (cada uno de los alumnos) para el delegado y para cada una de esas 20, tenemos 19 para el subdelegado (ya no son 20, porque una de ellas ya no puede ser, porque se ha elegido para ser el delegado). En total, ¡¡¡resultaría 20·19=380 posibilidades !!! Sería casi imposible escribirlas todas en un papel. Por otra parte, si lo que vamos a hacer es anotar quiénes son las dos primeras personas en salir voluntarias a la pizarra, como la primera persona también podría ser la segunda en salir, las posibilidades son 20 para la primera, por 20 para la segunda, resultando 400 posibilidades. Fíjate en que para contar ha sido importante saber si se podían repetir los casos o no, pues eso ha hecho que el segundo factor sea 19 o 20. Además, esta vez, en ambos casos también nos importaba el orden, pues nos interesaba distinguir cuál sería la primera persona y cuál la segunda. Ten en cuenta que hay otras ocasiones en que el orden no importa. Por ejemplo, si vamos a meter varias piezas de fruta en la mochila para la merienda del cole... una vez dentro de la mochila, el orden en que las elegimos ya dará igual. Pregunta 1: ¿cuántas posibilidades hay en tu clase? Razónalo igual, con el número de personas que hay en clase. Por supuesto, esto se puede hacer para elegir 2 personas, tres, o tantas como queramos. Pregunta 2: vamos a inventar más situaciones en que tengamos que tengamos que elegir entre varias cosas, indicando
  1. Si el orden tendrá importancia en nuestra decisión, y el motivo por el que influye (esto dependerá de qué vamos a anotar exactamente el recoger el dato).
  2. Si podemos repetir la elección.
En esta ocasión, no vamos a calcular cuántas posibilidades hay. Vamos a esperar a practicar un poco con la actividad "Contando pegatinas" que hay más abajo. Como ejemplo de situaciones, podríamos preguntar a nuestra amiga por los tres colores que más le gustan, el sabor de los dos últimos helados que se ha tomado, de qué asignatura han sido los últimos exámenes...

Representando las posibilidades

Como hemos visto en el ejemplo anterior, en casi cualquier situación es fácil que haya muchas posibilidades, por lo que es frecuente que cuando necesitamos considerarlas todas, utilicemos ordenadores para trabajar con ellas. Pero siempre es bueno llevar en mente cuál podría ser alguna forma de generarlas. Un procedimiento habitual son los diagramas en árbol, que conocemos de los experimentos compuestos, descomponiendo nuestra situación en los pasos: "elegir el primero", "elegir el segundo"... Nosotros, para practicar el cómo se hallan esas opciones diferentes, utilizaremos la actividad "contando pegatinas", que nos presentará situaciones en las que el número de casos posibles es manejable y podemos representarlo con un árbol. Es muy interesante el ver cómo resultan las posibles configuraciones finales. En esta actividad nos centraremos en los casos en los que el orden es importante y, más adelante, en la actividad "Combinaciones y variaciones ¿Importa el orden?" exploraremos tanto los casos en los que importa como los que no. Fíjate en que el hecho de que haya muchas o pocas pegatinas no influye mucho en las posibilidades. Podría influir si hay que irlas retirando pero... en un momento dado se nos acaban. Sin embargo, sí influirá si vamos a elegirlas al azar (y lo haremos en otras actividades). Indica aquí cómo crees que eso influye.

Revisa tu respuesta

Contando pegatinas

Instrucciones

  • Comenzaremos viendo varios ejemplos y cómo se hace el correspondiente diagrama en árbol (aunque no sean necesarios para saber el número de posibilidades), marcando la casilla "ver solución" y después "ver árbol".
  • Cuando lo tengamos claro, crearemos nosotros el diagrama de árbol antes de mostrar la solución, para casos en los que no haya demasiadas posibilidades. Por ejemplo, menos de 20.
  • Después, tan solo nos aseguraremos "mentalmente" de que sabríamos hacer los diagramas y calcularemos la solución sin necesidad de dibujarlos.
  • En las indicaciones de las soluciones, se incluyen también los símbolos matemáticos que se usan para hacer estos cálculos directamente: V, VR, P y números con admiración. Más abajo, en el apartado "variaciones y permutaciones" se explica cómo usarlos.
  • Por último, resolveremos los ejercicios que nos proponen al pulsar el botón "Ejercicios".
    • Cada ejercicio correcto vale 1 punto, pero cada fallo también penaliza 1 punto.
    • Se conservará la información de la máxima puntuación alcanzada.
    • La puntuación máxima es 10. Al alcanzarla, el fondo de la pantalla pasará a ser verde.
¿Necesitamos saber cuántos hay de cada dibujo o en total?
  • A veces es difícil contar cosas que se mueven o están descolocadas.
  • Por eso, tenemos el botón Organiza, que preparará los dibujos para que los contemos bien ¡ojalá mi habitación se ordenase así de fácil! Pulsarla no penaliza en las calificaciones.
  • También podemos parar/reactivar el movimiento, con la casilla "Movimiento".

Variaciones y permutaciones

Cuando queremos elegir varios elementos de un conjunto, de manera que el orden en que se eligen es importante, se dice que son variaciones. Fíjate en que en las soluciones ofrecidas en la actividad anterior, siempre se indica qué tipo de variaciones son.
  • Cuando podemos repetir, serán Variaciones con Repetición, VR. Como siempre multiplicamos el mismo número, resulta una potencia, lo cual podemos hacer siempre rápidamente con la calculadora.
  • Cuando no podemos repetir, son Variaciones sin Repetición V (sin la R). También es habitual llamarlos permutaciones sin repetición. Por eso, en la calculadora encontramos la tecla nPr que permite calcularlas.
  • El caso más "famoso" y útil de las variaciones es cuando queremos recolocar absolutamente todos los elementos del conjunto y se denomina permutación. Se utilizan tanto que a las variaciones sin repetición se les conoce también como permutaciones sin repetición.
  • El número de posibilidades se representa con una admiración. Este símbolo se llama factorial. Verás que tu calculadora tiene una tecla que permite calcularlo. Seguramente está escrito como x!
Por ejemplo,
  • ¿de cuántas formas pueden recolocarse tres personas (en los puestos 1, 2 y 3)?
    • El número de posibilidades se representa como 3!, y es 3·2·1=6.
    • Esto es porque hay tres posibilidades para la primera, dos para la segunda y una sola para la tercera (como hemos aprendido en la actividad anterior)
  • ¿y 4 personas (en los puestos 1, 2, 3 y 4)?
    • El número de posibilidades se representa como 4!, y es 4·3·2·1=24.
    • Esto es porque hay 4 posibilidades para la primera persona, tres posibilidades para la segunda, dos para la tercera y una sola para la cuarta.
El cálculo de factoriales aparece en muchas operaciones matemáticas que iremos viendo en otros cursos. Pero incluso ya en las variaciones aparece. Fíjate en que, por ejemplo, puede expresarse con factoriales: . Ahora mismo, hacerlo así parece más complicado pero, conforme conozcamos más sobre combinatoria, veremos que nos resulta más cómodo expresar todo usando factoriales.

Nuestro turno

Una vez que hemos aprendido a hacer recuento de variaciones es el momento de crear nuestras propias situaciones y decidir cuántas posibilidades hay. No tiene por qué referirse a "pegatinas", como en el applet, sino cualquier otra situación. Por ejemplo, similares a las que planteamos al principio de la actividad. Indicaremos aquí o en nuestra libreta los ejemplos que hemos propuesto y el número de posibilidades. También, como ya sabemos predecir lo que va a ocurrir, nos aseguraremos de que alguna de las situaciones no tenga demasiados casos, para que podamos representarla con un diagrama en árbol (20 posibilidades o menos).
  • Al menos lo haremos con dos casos de variaciones con repetición y dos de variaciones sin repetición.
  • En el árbol, usaremos abreviaturas para hacerlo más rápido. Por ejemplo "F" en lugar de "Fútbol" y "B" en lugar de "Baloncesto".
---------- Por último, anotaremos en el porfolio de clase o aquí lo que hemos aprendido y si nos parecen útiles estas formas de enumerar usando combinatoria. ¿Sabías que, internamente, los ordenadores usan diagramas en árbol gigantescos y cálculos combinatorios para tomar decisiones como al jugar al ajedrez, aplicar IA, etc.? Es la forma que tienen de ir representando "qué puede ocurrir" y poder analizar qué hacer en las opciones posibles. No te olvides de escribir si esta actividad te ha resultado divertida y curiosa.
  • ¿Crees que te ha ayudado a aprender a usar las matemáticas?
  • ¿Te parece interesante la combinatoria?
  • ¿alguna vez te habías parado a pensar que el simple hecho de contar pudiese ser tan complejo que necesitase una rama específica de las matemáticas para ello?

Referencia de las imágenes

Fuentes de las imágenes (licencias CC BY SA y openclipart):

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