Cuatro círculos iguales - Cálculo del radio
Las circunferencias de centros A', B' y C', son tangentes a los lados del △ABC y tienen el mismo radio r'. La circunferencia de centro O' es tangente a las otras tres y también tiene radio r'. ¿Cuál es su valor de r'?
Los lados del △A'B'C' son paralelos a los del △ABC, pues se hallan a una distancia r' de ellos. Por tanto son semejantes. Pero además, A' está en la bisecrtriz del ángulo A, por lo que A, A' e I (incentro) están alineados. otro tanto ocurre con B' y C', por lo que los triángulos son no solo semejantes, sino homotéticos con centro de homotecia I. La razón de homotecia es el cociente de los radios de las circunferencias circunscritas a ambos triángulos , 2r'/R, así como el cociente de sus inradios, (r-r')/r. De esta igualdad se despeja fácilmente r' en función de R y r, radios de la circunferencia circunscrita e inscrita al △ABC respectivamente.
Nótese que los círculos de centros A', B' y C' pueden ser secantes entre si y/o el de centro O' secante a uno de los lados, dependiendo de la forma del △ABC (Ver Cuatro círculos iguales). Pueden desplazarse libremente los tres vértices A, B y C.