2024 Sess. Ord. - Q8
Prima parte
Scrive Carlo Emilio Gadda in uno dei racconti de L’Adalgisa – Disegni milanesi: «Le stanze del servizio, il bagno, i corridoi, l’anticamera e l’uno de’ due gabinetti, eran pavimentati con piastrelle rosse di piccolo formato: esagonali […]. L’apotèma di quelle mattonelle misurava centimetri 5,196: mentreché il raggio del circolo circoscritto raggiungeva i 60 millimetri».
Esprimere la relazione esatta tra raggio del cerchio circoscritto ed apotema (ossia il raggio del cerchio inscritto) per un esagono regolare.
Verificare il risultato ottenuto alla luce delle misure indicate dallo scrittore.
Prima parte - Verifica della stima dell'autore
Seconda parte - Quesito
Spiegare perché, utilizzando piastrelle esagonali regolari tutte congruenti, è possibile pavimentare un piano.
Con quali altri poligoni regolari, tra loro congruenti, è possibile pavimentare un piano?
Motivare la risposta.
Seconda parte - Qualche considerazione
"Pavimentare" equivale in geometria alla "tassellazione del piano", che studia come ricoprire il piano con figure geometriche che si ripetono all'infinito senza sovrapporsi.
Per tassellare il piano con poligoni regolari congruenti, dobbiamo garantire che ogni vertice di ogni poligono sia un vertice comune a poligoni dello stesso tipo () che formano in quel punto un angolo di .
La misura di ogni angolo interno di un esagono regolare è . Ciò significa che in questo caso esagoni con un vertice in comune ricoprono correttamente il piano.
In generale, sappiamo che la somma degli angoli interni di un poligono regolare di lati è , e quindi ogni angolo interno ha ampiezza .
Affinché sia possibile tassellare il piano, la somma degli angoli interni dei "tasselli" in ogni vertice comune ad essi deve essere 360°.
Quindi, se abbiamo poligoni regolari, dovrà essere , da cui .
Poiché potremo tassellare il piano solo con poligoni regolari di 3, 4 oppure 6 lati, e quindi con triangoli equilateri, quadrati o esagoni regolari.
Seconda parte - Esplorazione
Usa lo slider ed esplora le pavimentazioni fatte con 3 piastrelle a forma di poligono regolare dello stesso tipo.