El problema de la mosca y los trenes

Tema:Vectores 2D (dos dimensiones), Construcciones, Límites, Sucesiones y Series

Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra El dominio del Tiempo. El movimiento a velocidad constante es muy frecuente en muchos problemas de persecución o enfrentamiento entre dos móviles. Aunque en los libros de texto suelen resolverlos como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas (el espacio recorrido y el tiempo transcurrido hasta el encuentro), basta un simple razonamiento basado en la relatividad del movimiento (relatividad de Galileo respecto al sistema de referencia). Para el observador que esté en uno de los móviles, el móvil en el que se halla permanece quieto, mientras que el otro se mueve con la diferencia (vectorial, es decir, considerando el sentido de cada uno) de las velocidades de ambos. Gracias a este razonamiento, es fácil deducir el tiempo de alcance. Seguramente, el ejemplo más famoso de este tipo de problemas sea el de la mosca y los trenes: Dos trenes se hallan en la misma vía separados 100 km. Se dirigen uno hacia el otro, cada uno a 50 km/h. Una mosca parte del morro de un tren y vuela hacia el otro, a 75 km/h. Al llegar al otro tren, la mosca da media vuelta y continúa hacia el primer tren. ¿Cuántos kilómetros recorre la mosca antes de quedar aplastada en la colisión de los dos trenes?

Comentario: Naturalmente, este enunciado, como muchos otros en matemáticas, hay que asignarlo a la categoría de "experimentos mentales", por lo que no ha de ser juzgado con "sentido común" (¿Desde cuándo las moscas vuelan a velocidad constante y sin quiebros? ¿A 75 km/h, más de 10 veces lo normal? ¿Qué oscuro motivo tiene la mosca para realizar esos absurdos vaivenes? ¿Los dos maquinistas están ciegos y no frenan al ver el otro tren? ¿Cómo se conocen esos datos, lleva la mosca un GPS ultraligero? etc.)

La fama de este problema se debe a que cuando se lo propusieron al gran matemático John von Neumann (1903-1957, Johnny para los amigos), sustituyendo los trenes por bicicletas, dio inmediatamente el resultado correcto. Oh, ya has oído el truco antes, dijo el interrogador, decepcionado. ¿Qué truco? preguntó el desconcertado Johnny, simplemente sumé la serie infinita. En un rápido cálculo mental, Johnny determinó la longitud del primer tramo recorrido por la mosca (75 t = 100 − 50 t, de donde t= 4/5, y entonces tramo1 = 75 4/5 = 60 km). En ese tiempo (4/5 h), cada tren habrá recorrido 40 km, así que la separación entre los trenes es solo de 20 km, es decir, 1/5 de la separación inicial. Por lo tanto, los tramos que recorre la mosca forman una progresión geométrica decreciente, de razón 1/5 y primer término 60, cuya suma de infinitos términos, que es 60/(1−1/5) = 75 km. La alternativa, "el truco", muchísimo más simple, consiste en desplazar el foco de atención del espacio al tiempo. Desde el punto de vista de uno de los trenes, el otro tren se acerca a 100 km/h, por lo que tardará 1 hora en recorrer los 100 km de separación hasta colisionar. Así que la mosca estará volando 1 hora. A la velocidad de 75 km/h, habrá recorrido 75 km. Observemos que como la velocidad se expresa en km/h, elegimos el kilómetro como unidad de distancia en la construcción. Pero como no queremos esperar una hora a que se complete el experimento, escalamos el tiempo (1:180), de modo que cada segundo de ejecución equivalga a 3 minutos de tiempo "real". Naturalmente, escalar el tiempo también implica escalar el error cometido en la simulación.

Nota: en la construcción, es evidente que lo que no está a escala son las locomotoras.

GUION DEL DESLIZADOR anima # Calcula los segundos dt transcurridos; para ello, suma un segundo si t1(1) < tt Valor(tt, t1(1)) Valor(t1, Primero(TomaTiempo(), 3)) Valor(dt, (t1(1) < tt) + (t1(1) − tt)/1000) # Mueve la mosca M (a velocidad v) y los trenes (a velocidad vTren)Valor(M, M + dt v) Valor(Tren1, Tren1 + dt vTren) Valor(Tren2, Tren2 − dt vTren) # Establece los límites de cada movimiento Valor(v, Si(x(M − Tren1) < 0, (abs(v), 0), x(Tren2 − M) < 0, −(abs(v), 0), v)) IniciaAnimación(anima, x(Tren2 − Tren1) > 0) Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.

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