Traslare un oggetto nel piano
In questo paragrafo ci occupiamo delle leggi che ci permettono di descrivere una
traslazione nel piano, cioè uno spostamento rigido lungo una determinata direzione. Inizieremo utilizzando un approccio puramente algebrico.
Riassumendo, una traslazione di vettore porta a delle nuove coordinate, traslate, ottenute tramite le leggi
per ottenere la curva traslata è necessario scriverne la legge esprimendola non più attraverso le coordinate originarie bensì utilizzando le coordinate traslate. Bisogna quindi invertire le leggi ed esplicitare le vecchie coordinate, ottenendo così l'espressione con cui bisogna sostituirle
NOTA: gli apici nelle lettere e servono solo per distinguere le coordinate traslate da quelle originali. Dato però che si tratta sempre di coordinate nello stesso piano cartesiano, di fatto possiamo evitare questa doppia simbologia. Per effettuare una traslazione di vettore dobbiamo quindi effettuare le seguenti sostituzioni:
INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DELLE TRASLAZIONI
I calcoli che abbiamo appena visto possono essere interpretati dal punto di vista geometrico, per comprendere ancora meglio il significato di queste operazioni. Vediamolo con un esempio numerico.
Applicare la traslazione significa traslare l'origine del sistema di riferimento, in una nuova origine .
Osservando le sostituzioni , quelle da applicare in questo caso sono:
questo fa sì che il ruolo che nella curva originaria era ricoperto dall'origine , ora è svolto dal punto , infatti:
- la che compare nella funzione originaria non è altro che la distanza "orizzontale" di ogni ciascun punto della curva dall'origine : nella nuova curva viene sostituita da , cioè la distanza "orizzontale" dalla nuova origine
- allo stesso modo la che compare nell'equazione della curva originale rappresenta la distanza " verticale" dall'origine , e nella nuova curva ne prende il posto , cioè la distanza "verticale" dalla nuova origine
la si può vedere anche così: nella funzione al posto di ed sostituiamo i due "binomi di Ruffini" e . Essi ci garantiscono proprio che quanto prima accedeva nell'origine (cioè quando ) ora si verifichi in , dato che le coordinate di questo punto sono quelle che per definizione azzerano i due binomi.
UN'APPLICAZIONE: RETTE PASSANTI PER UN PUNTO
Nella prossima animazione vediamo un esempio di applicazione delle traslazioni: se cerchiamo tutte le rette che passano per un dato punto possiamo
- prendere le rette passanti per l'origine, cioè , con che cambia per ogni retta;
- traslarle un modo che l'origine venga traslata sul punto desiderato: le traslazioni fanno sì che il ruolo che prima era svolto dell'origine sia coperto dal nuovo punto.
Nell'animazione qui sopra abbiamo visto che per trovare tutte* le rette che passano per un punto si può utilizzare la formula
dove è il coefficiente angolare a cui dare i vari valori per ottenere le diverse rette.
Alcuni libri presentano questa formula senza dare molte altre spiegazioni. Noi invece siamo in grado di darle un significato: abbiamo preso le rette , che sono tutte** quelle che passano per l'origine, e le abbiamo traslate portando l'origine nel punto , quindi adesso passano tutte di lì.
Anche in questo caso è evidente che la sostituzione introduce due "binomi di Ruffini" e . In questo caso essi ci garantiscono il passaggio della retta per , dato che le coordinate del punto A annullano e rendono uguali i due membri dell'equazione qualunque sia la della retta specifica, esattamente come le coordinate azzerano e rendono uguali tra loro i due membri di qualunque sia la della retta specifica.
* In realtà questa formula non include, tra tutte le rette che passano per il punto , quella parallela all'asse - cioé - che non può essere rappresentata in forma esplicita.
** Per la stessa ragione vista alla nota precedente questa forma non può rappresentare la retta passante per l'origine , che deve essere aggiunta a parte.
Se trasliamo una circonferenza vediamo un altro caso in cui è evidente che l'effetto della traslazione è di assegnare ad un nuovo punto il ruolo che era inizialmente dell'origine; lo mostriamo qui sotto.
ALTRI MODI PER RAGIONARE SULLE FORMULE DI TRASLAZIONE
Un ulteriore approccio per familiarizzare con le traslazioni è quello di ragionare sul loro effetto sulla curva in termini di spostamento. Lo facciamo nell'animazione qui sotto, partendo da spostamenti elementari e poi combinandoli tra loro.
Anche in questo caso abbiamo che la versione traslata di è : dove prima c'erano , che diventano zero nell'origine, ora ci sono i due binomi di Ruffini, che diventano zero nelle coordinate di .
Vediamo ora un paio di esempi svolti per dare concretezza a quello che abbiamo imparato.
Esempio 2: trasla la parabola in modo che il suo vertice sia in .
Applicando le trasformazioni corrispondenti alla traslazione richiesta otteniamo la parabola di equazione , che svolgendo i calcoli e portata in forma esplicita diventa .
Da notare che il coefficiente è rimasto identico, infatti la traslazione ha spostato la parabola senza modificarne la geometria.
Esempio 3: considera la parabola ed applicando il metodo di completamento del quadrato risali alle coordinate del suo vertice ed alle sue caratteristiche.
Per applicare il metodo di completamento conviene isolare i termini con cui si vuole ricostruire il quadrato di binomio, che in questo caso sono quelli con la :
raccogliamo il a secondo membro in modo che la appaia con coefficiente , come succede nei binomi di Ruffini:
Se è il doppio prodotto, il secondo numero è , che elevato al quadrato fa : aggiungiamolo dentro la parentesi e bilanciamo opportunamente a primo membro
(da notare che a primo membro abbiamo aggiunto perché a secondo membro il lo abbiamo aggiunto all'interno di una parentesi che è moltiplicata per , e quindi di fatto abbiamo aggiunto il doppio).
Abbiamo praticamente terminato: non ci resta che svolgere i calcoli a primo membro e riconoscere il quadrato di binomio al secondo, per riconoscere la traslazione effettuata:
Si tratta quindi della parabola (rivolta verso l'alto, schiacciata verso l'alto) traslata con il vertice nel punto .
INTERPRETARE LE TRASLAZIONI
Non esiste un'interpretazione generale applicabile a tutte le traslazioni: ognuna va valutata per le sue caratteristiche e la funzione a cui è applicata. Gli esempi più immediati sono quelli che riguardano traslazioni lungo uno singolo dei due assi cartesiani. Nel primo esempio vediamo un caso concreto di traslazione "verticale".
![La funzione [math]\large{\textcolor{orange}{S(t)}}[/math] descrive la distanza di un podista dal Via in funzione delle ore trascorse dall'inizio della gara. Dal grafico si può dedurre all'istante [math]\large{0}[/math] si trova a [math]\large{1}[/math] km dal Via (punto [math]\large{\textcolor{red}{P}}[/math]) quindi evidentemente gli è stato concesso un vantaggio.
[b][color=#0000ff]Applicando la traslazione in figura si ottiene la posizione di un altro podista[/color][/b] che parte [math]\large{3}[/math] più indietro, [math]\large{2}[/math] km [i]prima[/i] del Via. L'andamento è identico a quello del primo corridore, quindi rimane costantemente indietro di [math]\large{3}[/math] km -[b][color=#0000ff] la sua distanza dal Via (il suo [i]output[/i] [/color][/b][math]\large{S}[/math][b][color=#0000ff]) è sempre diminuita di [/color][/b][math]\large{3}[/math][b][color=#0000ff] rispetto quella del primo[/color][/b]. La sostituzione corrispondente è [math]\large{S \to S\textcolor{red}{+3}}[/math], così che se la funzione del primo podista è [math]\large{S=S(t)}[/math], dopo la sostituzione il secondo ubbidisce alla legge [math]\large{S\textcolor{red}{+3}=S(t) \rightarrow S=S(t)\textcolor{red}{-3}}[/math]](https://www.geogebra.org/resource/stapteys/T3zFyCytGhojZ2RF/material-stapteys.png)
Le traslazioni lungo l'asse delle "spostano" la funzione lungo la variabile di input. Se questa rappresenta, come spesso capita, il tempo, applicare una traslazione di questo tipo implica anticipare o ritardare il fenomeno descritto dalla funzione.
![La funzione [math]\large{\textcolor{orange}{T(g)}}[/math] descrive la temperatura [math]\large{\textcolor{orange}{T}}[/math]in un certo luogo al passare dei giorni [math]\large{\textcolor{orange}{g}}[/math]. Essa ha un massimo relativo nel punto [math]\large{\textcolor{red}{M}}[/math], cioè oggi quando sono trascorsi [math]\large{\textcolor{red}{g_M=0}}[/math] giorni, in cui la temperatura è di poco inferiore ai [math]\large{\textcolor{red}{3°}}[/math].
[b][color=#0000ff]Applicando la traslazione in figura tutto l'andamento viene ritardato nel tempo[/color][/b], in particolare il giorno di massimo è diventato il quinto giorno (punto [math]\large{\textcolor{#009900}{M_1}}[/math]). Dato che quello che prima accadeva per [math]\large{g=0}[/math] ora deve accadere quando [math]\large{g=5}[/math], la sostituzione applicata è [math]\large{g\to g-5}[/math].](https://www.geogebra.org/resource/cqrdkdgq/D0xItarIHraESV6A/material-cqrdkdgq.png)