Stetige Zufallsvariablen
Was heißt "Gauß-verteilt"?
Die Normalverteilung wird auch Gauß-Verteilung genannt. Es gibt viele Dinge, die statistisch als "Gauß-verteilt" gelten. Wenn eine Größe Gauß-verteilt ist, dann sieht ihre Verteilungsfunktion aus, wie eine Gauß'sche Glockenkurve. Dafür gibt es viele Beispiele:
- Die Körpergröße von Männern und Frauen
- Länge von Haaren
- Blutdruck
- Viele Messfehler in Naturwissenschaften und Technik
- Wetterdaten wie Regenmenge oder Sonennscheindauer
- und vieles, vieles mehr
Erwartungswert und Standardabweichung als Parameter
Um bei stetigen Zufallsvariablen die Normalverteilung anwenden zu können, müssen ein Erwartungswert und eine Standardabweichung bekannt sein. Dann gilt:
Typische Fragestellungen
Wenn man mit der Normalverteilung arbeitet, dann arbeitet man eigentlich immer mit Integralen.
Nehmen wir an, Sie haben ein Betrieb, der Schrauben herstellt. Diese Schrauben sollen eine Länge von 40 mm haben. In der Praxis sind aber nicht alle Schrauben gleich lang. Im Herstellungsprozess gibt es an vielen Stellen Ungenauigkeiten. Sie wissen aber, dass der Erwartungswert der Schrauben bei 40 mm liegt, und dass es im Herstellungsprozess eine Standardabweichung von 0,7 mm gibt.
Welche Fragen könnte man dann stellen?
Wie viel Schrauben haben eine Länge von bis , also von 39,3mm bis 40,7mm?
Wie viel Prozent der Schrauben sind zwischen 39 mm und 41 mm lang?
Wie viel Schrauben sind länger als 42 mm?
Rechnen mit dem HP-Prime
In allen CAS-Systemen, so auch im HP-Prime gibt es vordefinierte Funktionen, um mit der Normalverteilung zu rechnen:
Um den Funktionswert an der Stelle der Normalverteilung mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung zu berechnen, also , drücken Sie die folgende Tastenkombination:
[Werkzeugkasten] + Karteireiter "Math" + "5" (Wahrscheinlichkeit) +"6" (Dichte) + "1" (Normal).
Dann steht im Display normald().
Hier tragen Sie nun als ersten Parameter den Erwartungswert, als zweiten die Standardabweichung und als dritte Zahl den Wert für das ein: normald(40 , 0.7 , 39).
Um ein Integral unter der Normalverteilung zu berechnen gehen Sie ähnlich vor: Nehmen Sie an, Sie möchten von 39 bis 41 integrieren:
Drücken Sie die folgende Tastenkombination:
[Werkzeugkasten] + Karteireiter "Math" + "5" (Wahrscheinlichkeit) +"7" (Kumulativ) + "1" (Normal).
Dann steht im Display normald_cdf().
Hier tragen Sie nun als ersten Parameter den Erwartungswert, als zweiten die Standardabweichung und als dritte und vierte Zahl die Integrationsgrenzen ein:
normald_cdf(40 , 0.7 , 39 , 41).