GeoGebra

Umgang mit Gleichungen im GeoGebra-CAS

Autor:Birgit Lachner
Vorab eine Warnung! Zu vielen Fehlern und unerwartetem Verhalten führt das Vergessen des Malzeichens! Zwar ist GeoGebra recht flexibel und kann mit Ausdrücken wie  umgehen. Will man aber zwei Variablen bzw. Parameter genauso hintereinander eingeben, wie etwa , so wird dies nicht als Produkt  verstanden sondern als eine einzige Variable mit dem Namen . Deshalb sollte man gerade im CAS zur Sicherheit lieber einmal zuviel das Malzeichen "*" verwenden! Eingabe von Gleichungen bzw. Funktionen Man muss bei der Eingabe auf folgende Unterschiede achten:
  • Eingabe von Gleichung mit einfachem = z.B. ... ergibt hier eine einfache lineare Gleichung, kann natürlich auch andere mathematischen Funktionen enthalten (sin, exp, sqrt, ...)
  • Definition von z.B. einer Funktion mit :=   ... Bestimmung einer Funktion mit Parametern. Das ist in der Eingabezeile nicht möglich, ohne das ein Schieberegler bestimmt wird.
  • Benennung eines Objektes über name: ... es wird eine Gleichung mit dem Namen s erstellt, bei der es darum geht, für welche x die Funktion f(x) den Wert 3 hat!
Lösungen von Gleichungen bestimmen lassen Es gibt zwei Möglichkeiten, das CAS die Lösung einer Gleichung bestimmen zu lassen: ... mit den Werkzeugen Toolbar Image bzw. Toolbar Image ... mit Textbefehlen
  • Löse[] oder Lösungen[ ] um eine Lösung für eine Gleichung oder ein System von Gleichungen symbolisch über den reellen Zahlen zu finden.
  • NLöse[ ] oder NLösungen[ ] um numerische Lösungen der angegebenen Gleichung(en) für die Variable x zu finden.
  • KLöse[ ] für Komplexe Lösungen.
Die Links verweisen auf Seite im GeoGebra-Hilfe-Wiki. Hier gibt es meist ein paar Beispiele mit Erklärungen zu den Befehlen. So zum Beispiel auch, wie man Startwerte für die Nummerische Berechnung einer Lösung einbaut, wenn die Gleichung nicht nur Polynome enthält, wie man die Variable festlegt, für die eine Lösung bestimmt werden soll oder wie man mit Gleichungssystemen mit mehreren Variablen umgeht. Werte in Gleichungen einsetzen Auch hier gibt es wieder zwei Möglichkeiten, wie eine Variable durch einen Wert oder durchaus auch durch eine eine Variable oder einen Term ersetzt werden kann. ... mit den Werkzeugen Toolbar Image ... mit dem Textbefehl
  • Ersetze[ ] kann man nachträgliche Änderung besser vornehmen. ... der Link führt wieder auf das GeoGebra-Hilfe-Wiki
In beiden Fällen können auch Lösungen aus vorherigen Zeilen verwendet werden, die man zum Beispiel durch eine dynamische Verknüpfung nutzen kann, wie $4. Äquivalenzumfornungen Zum Lösen einer Gleichung mit Äquivalenzumformungen kann man folgendermaßen vorgehen:
  • (3x+2=8)-2
  • (3x=6)/3
  • Ergebnis: x=2
Das geht besonders schnell, wenn man in der nächsten Zeile jeweils ein abschließende Klammer ) eingibt, wodurch die Gleichung aus der vorherigen Zeile übernommen und in Klammern gesetzt wird. Statt der Gleichung selber kann man Zeilennamen verwenden, wie $ oder $5 oder auch den Namen einer Gleichung, wenn man ihr vorher einen Namen gegeben hat, wie etwa mit g1:3x+2=8. Dann könnte man auch g1/2 eingeben. Das erspart eventuell viel Schreibarbeit und ist auf jeden Fall auch dynamisch, für den Fall, dass man die Gleichung verändert!
Gleichungssystem lösen lassen Nehmen wir an, wir haben zwei Geraden g1 und g2 definiert. Mit Löse[{g1,g2}] wird die Lösung für x und y angezeigt. Die doppelte geschweifte Klammern bei der Lösung kommen daher, dass es bei anderen Gleichungen ja zu mehreren Lösungen kommen kann. Ein solche Lösung mit zwei Lösungenpaaren von x- und y-Werten könnte dann so aussehen: 
  • {{x=1,y=-3},{x=-5,y=2}}
Der Befehl Schneide[] kann zuverlässig nur bei Funktionen verwendet werden. Die Anwendung des Löse[]-Befehls um bei Funktionen den Schnittpunkt zu finden ist etwas umständlicher. Er müsste Löse[{y=f(x),y=g(x)}] lauten. Dazu ein Beispiel als Bild:
Nur die Zeile 3 und die Zeile 5 liefern (zur Zeit) sinnvolle Anzeigen, wenn man sie sichtbar machen lässt.
Nur die Zeile 3 und die Zeile 5 liefern (zur Zeit) sinnvolle Anzeigen, wenn man sie sichtbar machen lässt.
Zugriff auf einzelne Teile einer Ausgabe Für eine dynamische Verknüpfung zwischen den Zeilen darf man die einzelnen Ergenisse nicht von Hand abschreiben. GeoGebra bietet aber ein paar Funktionen, um auch zum Beispiel zwei Lösungen nacheinander einzeln weiter zu verarbeiten. Gehen wir von dem obigen Beispiel mit der Parabel und der Gerade aus, so habe ich ja die Ausgabe: Auf die erste Lösung/das erste Lösungpaar kann man zugreifen durch den Befehl Element[$3,1] ... mehr zum Befehl Element[ ] im Hilfe-Wiki. Erklärung:
  • Die Ausgabe ist wegen der geschweiften Klammern eine Liste.
  • Die Liste enthält zwei Elemente, die beide Punkte sind.
  • Also greife ich mit dem Befehl auf das erste Element in der Liste $3 (siehe Bild oben) zurück.
Will ich von diesem Punkt nur den x-Wert haben verwende ich den Befehl x(Element[$3,1]). Ist das Ergebnis aber eine Liste mit Listen (also geschweifte Klammern ineinander geschacheltet), so müsste müsste man zweimal den Element-Befehl verwenden! Für die Lösungverfahren bei Gleichungssystemen muss man einen anderen Befehl benutzen. Schauen wir uns dazu ein Beispiel zum Einsetzungsverfahren an:
  • Legen Sie die Geraden g1:3x+4=2y und g2:4x-2y=1 an.
  • Nutzen Sie zum Einsetzen den folgenden Befehl: Ersetze[g2, 2y,LinkeSeite[g1]]
  • Nur wenn
  • Bestimmen Sie die Lösung für die übrigbleibende Gleichung (mit Löse[] oder per Äquivalenzumformung)
Den Ersetze-Befehl wurde ja schon besprochen und der wesentliche Befehl hier Ersetze[g2, 2y,LinkeSeite[g1]] sollte eigentlich nicht schwer zu verstehen sein, wenn man sich klar macht, dass er allgemein so verwendet wird: Ersetze[ <Ausdruck>, <von>, <durch> ]
  • In der Gleichung g2 wird der Ausdruck 2y durch die linke Seite der Gleichung g1 (hier also 3x+4) ersetzt.
Der Befehl LinkeSeite bzw. RechteSeite kann auch beim Gleichsetzungsverfahren verwendet werden, indem man jeweils eine Seite der Gleichungen nimmt und sie zu einer neuen Gleichung zusammensetzt. Weitere Beispiel zu diesen Befehlen im Hilfe-Wiki, siehe RechteSeite[ ] Für das Additionsverfahren braucht man diesen Befehl natürlich nicht, denn man kann einfach Gleichungen addieren, wie zum Beispiel g1+g2 nachdem man eventuell notwendige Äquivalenzumformungen vorgenommen hat.

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