Coordenadas homogéneas
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia.
Comando GeoGebra asociado: AplicaMatriz
Hemos visto que si un punto P' tiene las mismas coordenadas que P pero respecto a un nuevos sistema de referencia S={O, a, b}, entonces sus coordenadas canónicas (es decir, respecto al sistema de referencia canónico S2 ={(0,0), i, j}) son:
= px+py+
O, de forma más compacta:P' = M P + O
donde M = (a | b), es la matriz de cambio de base:
Si sumamos las matrices del segundo miembro en la primera ecuación matricial, obtenemos: que es equivalente a la ecuación matricial: que a su vez se puede expresar como: Observa el modo de escribir como matrices 3x1, con la última coordenada igual a 1, las coordenadas de P y P'. Estas nuevas coordenadas se denominan coordenadas homogéneas. La matriz 3x3 del segundo miembro se llama matriz ampliada, porque a la matriz de cambio de base M le hemos añadido las coordenadas homogéneas del punto O. Llamando T a esta matriz, la ecuación anterior queda como:P' = T P
Nota: El término "homogéneas" alude a que las ecuaciones polinómicas (en varias variables) que usan tales coordenadas tienen todos sus monomios de igual grado. Por ejemplo la ecuación y - x3 + 1= 0 en coordenadas cartesianas se expresa como yz2 - x3 + z3 = 0 en coordenadas homogéneas. Se usan en el plano proyectivo, con el cual no nos meteremos en este libro. A estas alturas, nos podemos preguntar para qué nos estamos complicando la vida, pues la expresión a la que hemos llegado, aunque más breve, es más complicada que la expresión de partida. ¿Para qué sirve, entonces, usar las coordenadas homogéneas? Como veremos más adelante, estas coordenadas facilitan el manejo de las transformaciones afines. La clave reside en que en la última ecuación (P' = T P) no aparece la operación suma. Solo hay un producto de matrices. Así que, en lo sucesivo, para aplicar cualquier transformación afín nos bastará con multiplicar por la matriz ampliada correspondiente a esa transformación afín (es decir, a ese cambio de sistema de referencia). Nota: Aunque en la construcción aparece P' = T P, debemos interpretar que en realidad las coordenadas bidimensionales de P' corresponden a las dos primeras componentes del vector tridimensional T P (cuya tercera coordenada es siempre 1). Recuerda que GeoGebra dispone de un comando específico para realizar correctamente esta interpretación del producto T P. Se trata del comando AplicaMatriz(T, P), que se puede aplicar tanto a puntos como a imágenes.Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.