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Holditch-Durchlaufung eines Winkels / eines Polygons

Autor:H.-J. Feldhoff
In diesem Applet durchläuft die "Holditch-Sehne" einen Winkelbereich, wobei sich die Endpunkte auf je einem Schenkel bis hin zur Ecke bzw. von ihr weg bewegen. Wie üblich interessieren wir uns für die (hier nicht geschlossene) Bahnkurve des Unterteilungspunktes . Während der "Fahrstrahl" die gelb markierte Fläche auskehrt, überstreicht der Richtungsvektor der Sehne (hellblau) den Nebenwinkel bzw. die Fläche des zugehörigen Kreissektors . Anleitung
  • Beobachte die Bahnkurve von . Verändere und bzw. und beobachte die Auswirkungen.
  • Verändere und untersuche, wie die gelbe Fläche von abhängt.
  • Der von durchlaufene Bogen kann durch zwei lineare Abbildungen und in ein anderes Kurvenstück transformiert werden. Führe diese nacheinander aus, indem du die Schieberegler ganz nach rechts ziehst. Überlege, wie sich bei diesen Transformationen der ursprüngliche gelbe Flächeninhalt ändert. Versuche daraus eine Formel für den gelben Flächeninhalt herzuleiten.
  • Wie lässt sich aus dem Ergebnis der Satz von Holditch für beliebige Polygone (auch nicht konvex und auch mit Selbstüberschneidung) ableiten?
Mathematischer Hintergrund Die numerische Untersuchung lässt vermuten, dass der überstrichene Flächeninhalt zum Nebenwinkel proportional ist. Die Hintereinanderausführung der beiden linearen Abbildungen bildet den von durchlaufenen Bogen auf den Einheitskreisbogen ab, der zum Winkel gehört. Daher ist ein Ellipsenbogen. ist eine Scherung parallel zur waagerechten Achse, bei der sich bekanntlich Flächeninhalte nicht ändern. Vergleicht man das Bild mit der horizontalen und der vertikalen Lage der Sehne (also für und für ), so sieht man, dass Teil einer Ellipse mit den Halbachsen und ist. Dieser wird unter auf den zu gehörigen Einheitskreisbogen abgebildet, und zwar durch je eine Streckung oder Stauchung in Richtung der Hauptachsen (verbunden mit einer je Spiegelung an der vertikalen Achse für und an der horizontalen Achse für ). Rückwärts betrachtet wird der Einheitskreis durch auf die Ellipse mit den Halbachsen und , also dem Flächeninhalt abgebildet, Der Anteil des betrachteten Sektors an der Gesamtfläche ändert sich dabei nicht und beträgt wie beim Kreissektor . Insgesamt gilt also: Der vom Fahrstrahl überstrichene gelbe Flächeninhalt beträgt . Das Vorzeichen des überstrichenen orientierten Flächeninhalts hängt von der Durchlaufungsrichtung ab. Im Applet ist zu beobachten, dass diese für den Bogen und für den Einheitskreisbogen unterschiedlich ist, falls und positiv sind, ansonsten gleich. Es gilt also . Durchlaufung eines Polygons Wird eine Holditch-Sehne der Länge entlang eines geschlossenen (nicht notwendig konvexen) Polygons herumgeführt, so bewegt sich der Teilungspunkt entweder auf einer Seite des Polygons, oder er beschreibt einen Ellipsenbogen wie im Applet. Zu der "Ring"-fläche zwischen dem Polygon (als Randkurve) und dem Orbit von tragen nur die Ellipsensektoren bei. Sind die orientierten "Außenwinkel" des Polygons (gemeint sind hier die Nebenwinkel der Winkel zwischen zwei benachbarten Seiten; bei nicht konvexen Polygonen können diese auch im Inneren des Polygons liegen, vgl. Applet unten), so wird an jeder Ecke die Fläche überstrichen. (Damit das überhaupt möglich ist, muss die freie Schenkellänge des durchlaufenen Winkelbereichs mindestens betragen.) In die Flächendifferenz gehen diese mit entgegengesetztem Vorzeichen ein. Liegt beispielsweise zwischen und und wird das Polygon von und im positiven Sinn umlaufen (d.h. das Innere des Polygons liegt immer links von und ), und ist positiv, so findet ein Wechsel der Bewegungsrichtung nach links statt wie im obigen Applet; der Ellipsensektor liegt dann im Inneren des Polygons und trägt positiv zur Ringfläche bei. Bei negativem (Drehung nach rechts) liegt er außerhalb und geht negativ in die Bilanz ein. Insgesamt ergibt sich . Da sich die orientierten Außenwinkel eines beliebigen Polygons (ggf. mit Selbstüberschneidung) zu einem ganzahligen Vielfachen von 360° addieren (siehe Applet unten), folgt , womit der Satz von Holditch für den Spezialfall eines Polygons als Randkurve erneut bewiesen ist.

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