0301 Abszolút geometriai kapcsolatok a P-modellen
A P-modell eszköztárát használva vizsgáljuk meg, hogy az alábbi kijelentések miként tükröződnek a modellen. Azok az olvasóink, akik számára ismertek az inverzió (körre vonatkozó tükrözés) tulajdonságai, miként tudnák igazolni az alábbi állításokat?
- Két pontra egy és csakis egy egyenes illeszkedik.
- Az egyenes a síkot két részre – félsíkra – osztja.
- A sík bármely egyenese meghatároz egy tengelyes tükrözésnek nevezett transzformációt, amely
- kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést hoz létre a két félsík pontjai között;
- egy pont tükörképének az ugyanerre az egyenesre vonatkozó tükörképe az eredeti pont;
- az egy egyenesre eső pontoknak a tükörképei is egy egyenesre esnek;
- a sík bármely két pontjához pontosan egy tükörtengely tartozik;
- egy tengelyesen szimmetrikus pontpárnak egy egyesre vonatkozó tükörképei is tengelyesen szimmetrikusak.
- Két egyenest merőlegesnek nevezünk, ha egyiknek a másikra vonatkozó tükörképe önmaga. Az egyenesek közötti merőlegesség szimmetrikus reláció.
- Két szakaszt – általában két síkgeometriai alakzatot – akkor tekintünk egyenlőnek (egybevágónak) ha tengelyes tükrözések sorozatával egymásba átvihetők.
- Legyen adott síkban egy O és egy A pont. Az O középpontú A kerületi pontú körvonalnak nevezzük azoknak az A' pontoknak a mértani helyét, amelyekre teljesül, hogy OA és OA' egybevágó.
- egyenesek közötti merőlegesség;
- szakaszfelező merőleges (két pont tükörtengelye);
- két félegyenes szöge;
- a szögek közötti egybevágóság (egyenlőség);
- a szögfelező (két, közös kezdőpontú félegyenes tükörtengelye).
- A hiperbolikus síkon egy adott H-egyeneshez és a rá nem illeszkedő H-ponthoz legalább két olyan H-egyenes tartozik, amely az adott pontra illeszkedik és az adott H-egyenest nem metszi.
Két egyenes kölcsönös helyzete
Az imént az egyeneseket két-két ponttal adtuk meg. E pontokat mozgatva viszonylag könnyen elérhetjük, , hogy két egyenes aszimptotikusan párhuzamos legyen. Ehhez felhasználtunk egy kis programozási trükköt, amit a GeoGebra fájlok előállítása iránt érdeklődő olvasóink figyelmébe ajánlunk. Ugyanis a pontok mozgatásával ez éppoly nehezen érhető el, mintha úgy szeretnénk mozgatni a két pontot, hogy az egyenesük illeszkedjen egy igen távoli (esetleg a rajzlapunkon rajta sem lévő) pontra. Így máris eljutottunk a Bolyai geometria egyik legmélyebb összefüggéséhez: Hogyan szerkeszthető meg egy adott egyenessel aszimptotikusan párhuzamos, adott pontra illeszkedő egyenes? Erre itt térünk vissza.
Egyenlőre elégedjünk meg annyival, hogy a hiperbolikus sík pontjainak a halmazát ki tudjuk bővíteni az un. végtelen távoli pontokkal. Másképpen ezeket a irányoknak is szokás nevezni. Ezek a pontok a P-modellen az alapkör vonalára illeszkednek. A hiperbolikus sík végtelen távoli pontjait a P-modellen a ▶ jellel jelenítjük meg.
A fenti appletből leolvasható, hogy
- minden H-egyenesnek két végtelen távoli pontja van. A H-sík minden (AB) egyeneséhez, és rá nem illeszkedő C pontjához pontosan két olyan egyenes tartozik, amely C-re illeszkedik és (AB)-vel egyirányú.