Napóleon háromszögek
Előzmények
Egy elemi geometriai feladat megoldásához e sorok írójának fel kellett használnia a Napóleon háromszögek néven (köz)ismert elemi geometriai összefüggést. (Lehet, hogy Napóleonnak nem sok köze volt ehhez a témához, legfeljebb a háromszög alakú kalapjának.)
A GeoGebra világméretű faliújságján szétnézve számos animációt lehet találni erre a témára. A matematikai irodalomban is számos - többnyire analitikus geometriai - bizonyítás fellelhető, de ...
Egy geometriai feladat megoldása csak akkor tekinthető eleminek, ha a felhasznált összefüggések is elemiek. Most tekintsük eleminek azokat a geometriai ismereteket, amelyek nem haladják meg a - középszintű - középiskolai matematikai ismeretanyagot. Az alábbiakban erre fogunk szorítkozni.
A feladat:
Legyen A, B, C a sík három tetszőleges pontja, és legyen ABDΔ, BCEΔ és CAFΔ három egymással azonos körüljárású szabályos háromszög! Ezek középpontjai legyenek rendre P, Q és R! Milyen kapcsolat van a P, Q, R pontok között? (A GeoGebra lehetőségeit nem ismerve korábban inkább ez a felszólító mondat szerepelt a feladat végén: Igazoljuk, hogy a PQRΔ szabályos!
A bizonyítás részletei
Az alábbi appletben lépésenként fogjuk részletezni e sejtésünkhöz szükséges geometriai konstrukció előállítását, a sejtést és a bizonyítást. Ezek a lépések a ◀ és ▶ gombokkal követhetők nyomon.
- Bár az A, B, C pontokra semmilyen kikötést nem tettünk, itt beállítható, hogy ugyanaz a háromszög pozitív. vagy negatív körüljárású legyen, a három pont essen egy egyenesre, vagy közülük kettő essen egybe.
- A Napóleon tétel áttekinthetőségét befolyásolja, hogy az ABCΔ oldalaira emelt szabályos háromszögek ABCΔ -el azonos, vagy ellentétes körüljárásúak-e. Eszerint meg lehetne különböztetni a "külső" és "belső" szabályos háromszögek esetét. De ezt itt nem tesszük. Elegendő megfigyelnünk, hogy az 1 lépésben beállítható speciális esetekre minden további lépés ugyanúgy érvényes. De az A, B, C pontokat dinamikusan kezelve ezek az esetek enélkül is előállíthatók.
- A szabályos háromszögeket legegyszerűbben a
ikonnal, ezek középpontjait a 
ikonnal vehetjük fel. - A sejtést megerősíthetnénk pl. a PQRΔ oldalai, vagy szögei numerikus adatainak a kiszámolásával, de ez nem vinne közelebb a bizonyításhoz.
- Felvettük az AB, BC, CA szakaszok harmadolópontjait. Miért? Egy bizonyítás menetének mindig ez a lépés a legkritikusabb pontja. Miért kellett éppen ezzel egészítenünk az adatainkat? A rossz válasz az lenne, hogy azért, mert a végén ki fog derülni, hogy ez milyen hasznos volt. Pólya György tanácsait követve azonban ez az ötlet talán nem is a semmiből bukkant elő. Ha felidézzük a szabályos háromszöggel kapcsolatos ismereteinket, felmerülhet, hogy a szabályos háromszög középpontja súlypont: harmadolja a súlyvonalat, ...
- ... így P. Q és R a harmadoló pontokkal együtt további három szabályos háromszöget alkot. Sőt pl. P1R2 =Q1Q2 és P2Q1=R2R1 és párhuzamosak is.
- A P1R2 és a P2Q1 szakaszokat R2R ill. Q1Q irányba eltolva ki tudunk alakítani két egymással egybevágó paralelogrammát.
- Ezeket a paralelogrammákat egy P körüli 60°-os forgatással át tudjuk vinni egymásba.
- Ezzel igazoltuk, hogy P körül Q-t 60°-kal elforgatva az R pontot kapjuk, tehát a PQRΔ valóban szabályos.