Charakteristisches Dreieck I
Ausgangssituation: Gegeben sind eine (differenzierbare) Funktion f , ein beweglicher Punkt P auf dem Graphen und die Tangente.
f kann man über die Eingabezeile ändern, Δx kann am Schieberegler verändert werden und bis 0.0001 verkleinert werden.
In der Datei I wird das (gedachte, nicht sichtbare) infinitesimale Dreieck mit dx-dy-ds am Punkt P so vergrößert, dass dx zu Δx wird
(orange gefärbtes Dreieck). Die Katheten sind achsenparallel, das orange Dreieck ist zum infinitesimalen Dreieck ähnlich.
Anmerkung:
1. In vielen Grafiken werden da auch die Seiten mit dx, dy, ds benannt. Das habe ich hier nicht anzeigen lassen (ist aber einfach machbar), weil da bei Schülern Irritation durch verschiedene Rollen von dx, dy aufkommen kann.
2. Das orange Dreieck mit der Kathete Δx entsteht hier nicht durch eine Vergrößerung mittels zentrischer Streckung (das würde einen infiniten Streckfaktor erfordern), sondern durch eine eigene Konstruktion entlang der Tangente.
Ein quadratischer Ausschnitt der Seitenlänge 2·Δx um P wird in das zweite Grafikfenster gezoomt.
Bei Verkleinern von Δx erscheint der Ausschnitt dadurch vergrößert.
Das ist meine 'Funktionenlupe' (siehe auch www.funktionenlupe.de).
Zur Verdeutlichung kann der Lupenbereich farbig unterlegt werden.
Beim Zoomen durch Verkleinern von Δx erscheint das orange Dreieck im zweiten Fenster immer gleich groß.
Zusätzlich kann auch das (magenta farbige) rechtsseitige Sekanten-Dreieck Δx-Δy-Δs angezeigt werden.
Man sieht dann die Veränderung und das tendenzielle Zusammenfallen mit dem Sekanten-Dreieck bei Verkleinerung von Δx.
Das bringt die Verbindung zum klassischen schulischen Ansatz und Kalkül.