Längenberechnung an der Parabel
IX. Anhang
Längenberechnung an der Parabel
Länge eines Abschnitts auf dem Graphen
Für die Länge des Graphen einer Funktion über dem Intervall [a,b], in dem die Funktion stetig differenzierbar ist, gilt die Formel
Wir betrachten hier nur Parabeln, die symmetrisch zur y-Achse sind, die also mit der Funktionsgleichung
dargestellt werden können.
Dann ist
und
Bei diesem Integral ist es nicht ganz einfach, für die Berechnung eine Stammfunktion zu finden.
Vereinfachtes Integral
Wir berechnen zunächst eine Stammfunktion für das einfachere Integral:
Bei dem ersten Integral auf der rechten Seite (blau) wird die partielle Integration angewendet,
beim zweiten Integral (rot) wird mit erweitert:
Für das Integral in Gleichung I wird die Substitutionsregel angewendet, und zwar mit
, und :
Anmerkung:
GeoGebra verwendet als Stammfunktion zu die Funktion
.
Auf die Gleichheit wird hier nicht eingegangen.
Die Logarithmusfunktion ist z.B. dann nützlich, wenn auf einem Taschenrechner nicht verfügbar, aber vorhanden ist.
Länge des Parabelabschnitts allgemein
Für die Länge des Parabelabschnitts gilt dann
Bei einem symmetrischen Abschnitt ergibt sich