Construcciones preliminares
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra GeoGebra Principia.
Retornemos a nuestra familiar métrica euclídea. Hasta ahora hemos usado el álgebra para facilitar la observación de lugares geométricos. Veamos ahora un ejemplo del proceso recíproco: usar la geometría para facilitar la observación de estructuras algebraicas.
Normalmente pensamos en las estructuras algebraicas (grupos, anillos, cuerpos...) como algo inherente a ciertas estructuras numéricas, como los números enteros o los números reales.
Sin embargo, podemos crear fácilmente estructuras geométricas equivalentes, con la ventaja de que así podemos visualizar cada operación aritmética como una construcción geométrica.
Si fijamos un punto O del plano, podemos considerar la distancia (euclídea) del resto de los puntos a O. Denotaremos OP a la distancia de O a P.
Los puntos que equidistan de O conforman una CIRCUNFERENCIA.
Al fijar otro punto I distinto de O, establecemos una DIRECCIÓN, una ORIENTACIÓN O→I y una RECTA r.
Tomaremos la distancia OI como UNIDAD. Además, dos puntos de la recta limitan una semicircunferencia. Un punto P está en la recta r si cumple alguna de estas igualdades:
OI = OP + PI (P está entre O e I)
OP = OI + IP (I está entre O y P)
PI = PO + OI (O está entre P e I)
- Simétrico: Si A está en la recta, en esta solo existe otro punto A' a la misma distancia de O que A.
- Mediatriz: Dados dos puntos distintos A y B, podemos encontrar todos los que equidistan de ellos.
- Punto medio: Intersecando la mediatriz con la recta r, obtenemos el punto medio MAB.
- Perpendicular: La mediatriz nos permite trazar perpendiculares (basta trazar la circunferencia con centro P a un punto cualquiera de r).
- Paralela: Con dos perpendiculares obtenemos una paralela por P a r.
- Inversión
: Con la circunferencia y la perpendicular podemos construir la inversión de A, A-1.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.