Proiezione di una figura piana sopra un altro piano
Questa sezione è tratta e fa riferimento al paragrafo 13 del libro di Castelnuovo.
Nella sezione precedente abbiamo introdotto i concetti di proiezione e sezione.
Sia la figura appartenente al piano e la si proietti da un centro generico sopra un piano , ottenendo la figura proiezione .
Nella seguente sezione analizzeremo la figura e le sue proprietà, in base alle caratteristiche di .
Elementi corrispondenti e osservazioni iniziali
È utile in primo luogo fare le seguenti osservazioni:
OSSERVAZIONE 1: Ogni punto ed ogni retta di dà per proiezione un punto ed una retta di .
Pertanto a ogni elemento di corrisponde un elemento dello stesso nome in e, viceversa, anche la figura è proiezione della da .
Dimostrazione OSSERVAZIONE 1
OSSERVAZIONE 2: Se gli elementi e di si appartengono, si apparterranno pure gli elementi corrispondenti e di , e viceversa.
Pertanto i caratteri grafici quali allineamento di punti, appartenenza, concorrenza di rette, etc. si trasmettono dall'una all'altra figura.
Dimostrazione OSSERVAZIONE 2
Dalle quali segue la seguente osservazione.
OSSERVAZIONE 3: Ogni punto della retta considerato come punto del piano (o ) ha come corrispondente sé stesso nell'altro piano.
Quindi ogni retta di ha una proiezione la quale passa per il punto , e viceversa.
Pertanto rette corrispondenti e dei due piani segano in uno stesso punto.
Dimostrazione OSSERVAZIONE 3
Definizione: Retta Limite
Siano e due piani propri e una retta impropria appartenente a (o analogamente a ). Si definisce retta limite o retta di fuga la retta corrispondente a su (o analogamente su ). Questa retta è generalmente propria (è impropria se i piani sono paralleli), parallela ad e data dall'intersezione di (o analogamente di ) col piano parallelo a (o analogamente a ) e passante per .
OSSERVAZIONE: La retta e la retta sono parallele tra loro perché, per definizione, è data dall'intersezione tra il piano ed il piano , mentre dall'intersezione di e il piano di ugual giacitura rispetto a . Sono quindi definite dalle stesse giaciture e, per tanto, appartengono allo stesso fascio improprio di rette.
NOTA: Abbiamo appurato che ogni osservazione vale per piani e arbitrari. Pertanto da ora non riterremo necessario verificare che una osservazione valga sia partendo con figure su , che su . Assumeremo quindi la validità del "viceversa" se dimostrata una delle due implicazioni.
Disegno Retta Limite
OSSERVAZIONE 4: Data la situazione precedentemente descritta, siano due rette parallele e , appartenenti al piano . È facile notare che si intersecano in un punto improprio appartenente alla retta impropria .
Inoltre e hanno per corrispondenti due rette e di , che si segano in un punto generalmente proprio (è improprio se i piani sono paralleli).
Pertanto un fascio improprio di rette di ha dunque per corrispondente un fascio proprio di rette di , il cui centro sta sopra la retta limite.
Dimostrazione OSSERVAZIONE 4
Proiezione del parallelogramma
OSSERVAZIONE 5: Supponendo di avere due coppie di rette parallele e , e , tutte appartenenti al piano e che soddisfano le condizioni sopra descritte; si osserva che, se ogni retta interseca le due dell'altra coppia, si ottiene il parallelogramma .
Ad esso corrisponde un quadrangolo semplice* di , in cui i lati opposti si segano in punti generalmente propri.
* OSSERVAZIONE: Il quadrangolo e il quadrilatero sono due figure distinte.
Il quadrangolo completo possiede 4 vertici , , , e 6 lati , , , , , . Due lati non avente vertice in comune si dicono opposti; il punto in cui si segano si dice punto diagonale. Si hanno quindi 3 lati opposti e 3 punti diagonale.
Il quadrilatero completo invece possiede 4 lati , , , e 6 vertici , , , , , , i quali si raggruppano in 3 coppie di vertici opposti.
Il quadrangolo semplice è una figura che possiede vertici e lati. Il quadrilatero semplice è una figura che non differisce dal quadrangolo semplice.
![Confronto tra [b]quadrangolo [/b]([i]sinistra[/i]) e [b]quadrilatero[/b] ([i]destra[/i])](https://www.geogebra.org/resource/xkmgywpn/hBOQBLh3d28FFMwV/material-xkmgywpn.png)