O corpo dos pontos de uma reta
Esta atividade pertence ao livro de GeoGebra GeoGebra Principia.
Continuaremos com nosso processo de construção da estrutura. Agora definiremos as quatro operações elementares.
- Soma: Para obter A + B, refletimos O em MAB para obter um novo ponto em r.
- Subtração: Para obter A − B, somamos A + B'.
- Multiplicação: Criamos o produto construindo triângulos semelhantes, obtendo um novo ponto em r.
- Divisão: Para obter A/B, multiplicamos A x B–1. A divisão não é comutativa.
- Ordem: A simetria I' O I permite definir uma RELAÇÃO DE ORDEM:
A ≤ O :⇔AI' ≤ AI A ≤ B :⇔A − B ≤ O
Estrutura: Com base em tudo o que foi mencionado anteriormente, o conjunto de pontos da reta r, dotado das operações de adição e multiplicação definidas dessa maneira, constitui uma estrutura semelhante ("corpo ordenado") à dos números reais ℝ. Na verdade, podemos estabelecer uma bijeção (isomorfismo) entre essas duas estruturas:(r, O, +, ×) → (ℝ, +, ×)
associando a cada ponto P de r o número real -OP se P<O e o número real OP se P≥O. Nota: Observamos que não abordamos a questão mais complexa de como construir geometricamente todos os pontos da reta (completude da reta real). Assumimos que a cada ponto corresponde um número e vice-versa. No entanto, se desejarmos restringir-nos aos pontos construíveis com as operações indicadas, podemos estabelecer um isomorfismo desses pontos (que não seria toda a reta) com o corpo dos números construíveis.Os pontos de uma reta não são os únicos objetos geométricos aos quais podemos atribuir a estrutura de corpo. Podemos aplicar isso a qualquer conjunto de objetos que compartilhem a mesma definição na qual existe apenas um ponto livre residente em uma reta. Abaixo, alguns exemplos.
Autor da atividade e construção GeoGebra: Rafael Losada.