Ejemplo 3. Siete circunferencias tangentes
Realiza la construcción siguiente.
Si las circunferencias pequeñas tienen un radio de una unidad de medida, ¿cuál es el área de la parte dibujada en rojo?
Antes de iniciar la construcción de las distintas circunferencias es conveniente relacionar esta figura con otra forma conocida que ayudará para determinar los puntos de tangencia de las siete circunferencias interiores.
Si nos fijamos en las seis circunferencias del mismo radio que rodean a la circunferencia central, podemos observar que sus centros estarán sobre un hexágono regular, por lo que comenzaremos dibujándolo
utilizando para ello la herramienta Polígono regular
.
Podemos activar la cuadrícula para considerar los puntos del lado del hexágono de manera que estén a dos unidades de distancia ya que el radio de cada una de las circunferencias es de una unidad.
Sobre el hexágono dibujamos en cada uno de los vértices una circunferencia de centro cada vértice y radio una unidad. Para ello, utilizaremos la herramienta Circunferencia (centro-radio)
.
Para dibujar la circunferencia central determinamos su centro que será el punto medio de cualquier diagonal del hexágono.
Utilizamos la herramienta Punto medio o centro para obtenerlo y repetimos el proceso de dibujar una circunferencia con ese centro y una unidad de radio.
Ya podemos ocultar el hexágono y sólo nos queda dibujar la circunferencia exterior cuyo centro es el centro del hexágono y de la que nos queda determinar un punto.
Para que sea tangente al resto de circunferencias,
trazamos una diagonal del polígono utilizando la herramienta Recta. El punto de intersección con
cualquiera de las circunferencias exteriores será el punto que nos falta para dibujar
la circunferencia exterior.
Ya sólo queda dibujar la última de las circunferencias, ocultando a continuación la recta y si lo deseamos el punto de tangencia.
Si las circunferencias pequeñas tienen un radio de una unidad de medida, ¿cuál es el área de la parte dibujada en rojo?
Antes de iniciar la construcción de las distintas circunferencias es conveniente relacionar esta figura con otra forma conocida que ayudará para determinar los puntos de tangencia de las siete circunferencias interiores.
Si nos fijamos en las seis circunferencias del mismo radio que rodean a la circunferencia central, podemos observar que sus centros estarán sobre un hexágono regular, por lo que comenzaremos dibujándolo
utilizando para ello la herramienta Polígono regular.
Podemos activar la cuadrícula para considerar los puntos del lado del hexágono de manera que estén a dos unidades de distancia ya que el radio de cada una de las circunferencias es de una unidad.
Sobre el hexágono dibujamos en cada uno de los vértices una circunferencia de centro cada vértice y radio una unidad. Para ello, utilizaremos la herramienta Circunferencia (centro-radio).
Para dibujar la circunferencia central determinamos su centro que será el punto medio de cualquier diagonal del hexágono.
Utilizamos la herramienta Punto medio o centro para obtenerlo y repetimos el proceso de dibujar una circunferencia con ese centro y una unidad de radio.
Ya podemos ocultar el hexágono y sólo nos queda dibujar la circunferencia exterior cuyo centro es el centro del hexágono y de la que nos queda determinar un punto.
Para que sea tangente al resto de circunferencias,
trazamos una diagonal del polígono utilizando la herramienta Recta. El punto de intersección con
cualquiera de las circunferencias exteriores será el punto que nos falta para dibujar
la circunferencia exterior.
Ya sólo queda dibujar la última de las circunferencias, ocultando a continuación la recta y si lo deseamos el punto de tangencia.Siete circunferencias tangentes
Por último, para hallar el área de la parte roja basta con determinar el radio de la circunferencia exterior, sabiendo que cada una de las siete circunferencias tiene un radio igual a una unidad.
Podemos observar que el radio de la circunferencia exterior es 3 unidades (diámetro de una circunferencia interior más un radio).
Por tanto, el área de la circunferencia exterior será
mientras que el área de una circunferencia interior será
.
Por tanto, el área de la zona pintada de rojo será:
.