Problemlösen mit Kegelschnitten
Konstruktion mit Zirkel und Lineal
Um sich den Probleme der Griechen zu nähern muss man sich technisch sehr stark beschränken, denn die 'alten Griechen' -genauer gesagt Euklids Schüler- kannten lediglich einen Zirkel und ein skalenloses Lineal. Taschenrechner und skalierte Lineale oder Winkelmesser waren für die reine Mathematik verboten, erst recht Computer, die es natürlich überhaupt nicht gab. Ob deshalb die Mathematiker dem Einsatz solcher Werkzeuge kritisch gegenüber stehen ist fraglich.
Für alle in diesem Buch als Probleme bezeichnete Aufgaben gilt als Merkmal:
Es darf nur konstruktiv gelöst und bearbeitet werden, und algebraische Gleichungen gab es nicht. Der Zusammenschluss zwischen Geometrie und Algebra erfolgte erst viel, viel später, nämlich im 15. Jahrhundert unserer Zeitrechnung.
Warum war das Delische Problem überhaupt ein Problem?
Im Kapitel Konstruktionen werden die einfacheren Grundkonstruktionen gezeigt.
Man kann Strecken ohne messen halbieren und darauf aufbauend einen Winkel halbieren.
Man konnte sogar ein Quadrat verdoppeln.
Laut Eratosthenes fragten die Bewohner der Insel Delos eine Orakel um Rat, weil auf der Insel eine schwere Seuche herrschte. Die Antworten dieser Orakel bestanden in der Regel aus mathematischen Aufgaben, und in der Geschichte von Eratosthenes lautet die Aufgabe des Orakels:
Verdoppelt den würfelförmigen Altar im Tempel zu Apollon! - also einen Würfel mit doppeltem Volumen zu konstruieren.
Das nachfolgende Applet zeigt eine -algebraische- Lösung, die das Problem zwar löst, aber nicht im klassischen Sinn der antiken Griechen.
Konstruktiv geht es darum, die dritte Wurzel zu konstruieren, so wie man die Quadratwurzeln mit Hilfe des Höhensatzes von Euklid konstruieren kann. Für die dritte Wurzel ist dies unmöglich, doch das wussten die alten Griechen noch nicht, und so versuchte man sich daran, das Volumen zu verdoppeln
Konstruktiv unlösbar: Verdoppelung eines Würfels
Quadratwurzeln
Das delische Problem ist konstruktiv nicht lösbar, was jedoch nicht intuitiv einsehbar, denn wie die Quadratverdopplung zeigt, ist das bei Flächen kein Problem. Das liegt daran, dass bei Quadraten die Diagonale des Ausgangsquadrates die neue Seitenlänge ist. Analog dazu müsste die Raumdiagonale des Ausgangswürfels die neue Seitenlänge sein, was jedoch nicht der Fall ist.
Das nachfolgende Applet zeigt, wie mit Hilfe des Höhensatzes von Euklid, jede Quadratwurzel konstruiert werden kann, eine Analogie für höhere Wurzeln existiert nicht.