3.2 Lokale Änderungsrate
Hinweis: Wenn du den letzten Abschnitt nicht gerade erst bearbeitet hast, solltest du ihn dir nochmal durchsehen, bevor du hier weiterarbeitest. Die nächste Aufgabe knüpft an die letzte Aufgabe an.
Wie in der letzten Aufgabe gehen wir davon aus, dass ein Porsche Carrera GT von 0 auf 100 konstant beschleunigt und sich der zurückgelegte Weg in Metern bis zu dieser Geschwindigkeit mit der Funktion berechnen lässt, wobei die Zeit in Sekunden angegeben wird.
Aus der letzten Aufgabe ging hervor, dass die Berechnungen des Weges zu einem Zeitpunkt kritisch zu betrachten sind, wenn die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt bereits mehr als beträgt.
Daraus ergibt sich die Frage, wann die Geschwindigkeit von erreicht wurde. Die Änderungsrate zu einem Zeitpunkt nennen wir lokale Änderungsrate oder auch momentane Änderungsrate.
Aufgabe 3.2.1:
Aus der letzten Aufgabe wissen wir, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen der zweiten und vierten Sekunde noch unter war, zwischen der vierten und sechsten Sekunde jedoch darüber. Eine erste Vermutung könnte sein, dass das Auto zur vierten Sekunde schnell war.
a) Berechne die mittlere Änderungsrate zwischen
- und
- und
- und
- und
Aufgabe 3.2.3:
Bewege im folgenden Applet an beliebige Stellen, z.B. wieder auf und , und zoome jeweils an den Graphen im rechten Fenster, indem du h per Schieberegler verkleinerst, bis der Graph geradlinig erscheint und mit der Tangente übereinstimmt.
a) Verkleinere nun , indem du q am Schieberegler verkleinerst, und beobachte dabei die Sekante. Schreibe dazu eine Begründung in dein Heft, wieso die Steigung der Tangente an mithilfe der Sekante durch die Punkte und angenähert werden kann, wenn sehr klein ist.
b) Begründe auch, wieso sich die Steigung des Graphen ständig ändert, aber am Punkt genauso groß ist wie die Steigung der Tangente durch den Punkt .
Lösungen: