Styczne w optyce
Wykażemy, że promienie padające z góry równolegle do osi Oy po odbiciu od zwierciadła w kształcie paraboli o równaniu przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten to tzw. ognisko paraboli.
Ilustracja graficzna:
Poniższy aplet przedstawia konstrukcję wykonaną za pomocą narzędzi GeoGebry, m. in. Styczne 
, Przecięcie
, Proste prostopadłe
, Symetria osiowa
. Rozwiązanie analityczne znajduje się w drugiej części.
Punkt to punkt swobodny (punktowe źródło światła).
, Przecięcie, Proste prostopadłe, Symetria osiowa. Rozwiązanie analityczne znajduje się w drugiej części.
Punkt to punkt swobodny (punktowe źródło światła).Rozwiązanie:
Załóżmy, że prosta zawierająca promień opisana jest równaniem . Wówczas punkt odbicia ma współrzędne . Niech oznacza prostą zawierającą promień odbity i niech oznacza współczynnik kierunkowy tej prostej. Aby wyznaczyć prostą konstruujemy najpierw styczną do wykresu w punkcie . Jej współczynnik kierunkowy jest równy . Następnie tworzymy prostą prostopadłą do stycznej jej współczynnik kierunkowy jest więc równy . Korzystając ze wzoru na kąt między prostymi i otrzymujemy: . Ponieważ kąt jest równy kątowi nachylenia prostej , więc . Korzystając z faktu, iż kąt padania jest równy kątowi odbicia dostajemy równanie
z niewiadomą n. Aby je rozwiązać przyjmujemy i korzystamy z definicji modułu. Otrzymujemy dwa równania (wiersz 1 i 3), które rozwiązujemy w poniższym aplecie.
A zatem prosta opisana jest równaniem , gdy oraz równaniem , gdy . Dla mamy , co oznacza, że każda z tych prostych przechodzi przez punkt .
Wprowadź równanie prostej l i zdefiniuj punkt O.
Ćwiczenie.
Powtórz zadanie dla zwierciadła w kształcie paraboli o równaniu , gdzie .