Das Horner-Schema
Ein Schema für die Polynomdivision
Gegeben ist die Funktion und die Nullstelle . Dann lässt sich auch schreiben als: , wobei eine Funktion zweiten Grades ist.
Um auszurechnen müssen wir also f(x) durch den Linearfaktor teilen:
Das haben wir im letzten Kapitel mit Hilfe der Polynomdivision gemacht. Aber es gibt auch einen bequemeren Weg: Das Horner-Schema.
Das Rezept
Zuerst müssen wir eine Tabelle erstellen, für eine Funktion -ten Grades genau Spalten haben muss. Wir verwenden hier eine Funktion dritten Grades und unsere Tabelle hat daher 5 Spalten.
Schritt 1 - Vorbereitungen:
- In die erste Zeile werden in die Spalten 2 bis 5 die Koeffizienten unserer Funktion hineingeschrieben
- In die zweite Zeile schreiben wir in die erste Spalte ein Pluszeichen und in die zweite eine Null
- In der dritten Zeile steht in der ersten Spalte die bekannte Nullstelle von
- Addiere die Zahlen, die untereinander in den ersten beiden Zeilen stehen und schreibe das Ergebnis darunter in die dritte Zeile:
- Multipliziere die gegebene Nullstelle mit der eben berechneten Summe und schreibe das Ergebnis eine Spalte weiter in die zweite Zeile
- Nun werden diese letzten beiden Schritte Spalte für Spalte wiederholt. Sie können das im unten stehenden Applet ausprobieren. Wenn man in der letzten Spalte angekommen ist, dann steht in der Zahl ganz unten rechts der Funktionswert der Funktion an der Stelle . Wir haben mit dem Hornerschema also den Funktionswert berechnet. Und weil hier eine Nullstelle ist, ist das letzte Ergebnis eine Null:
Interpretation des Ergebnisses
Eigentlich ist das Horner-Schema eine hervorragernde Methode, um händisch den Funktionswert einer ganzrationalen Funktion auszurechnen. Der Funktionswert der Funktion ist dann:
Also ist . Daher ist es auch nicht überraschend, dass in unserer Rechnung mit der als Ergebnis unten rechts eine Null herauskommt. Das geniale an diesem Schema ist:
Wenn man es mit einer Nullstelle der Funktion durchführt, dann erhält man mit den (roten) Zahlen in der dritten Zeile die Koeffizienten aus einer Polynomdivision.
In der Beispielrechnung oben wurde uns mit eine Nullstelle der Funktion "geschenkt". Daher wissen wir aus dem Satz über das Faktorisieren, dass man schreiben kann als: , wobei eine ganzrationale Funktion zweiten Grades ist. Man erhält , indem man durch den Linearfaktor teilt: .
Die roten Zahlen in den Spalten 2 bis 4 der letzten Zeile unseres Horner-Schemas sind die Koeffizienten dieser Funktion
Wir haben also durch das Berechnen des Funktionswertes einer Nullstelle - so nebenbei - das Ergebnis einer Polynomdivision erhalten.
Übungsaufgaben
Im folgenden Applet kann das Horner-Schema geübt werden. Wenn man sich nicht sicher ist, ob alle Zahlen richtig ausgefüllt sind, dann kann man dies mit dem Schalter "Prüfen" testen.