Polynomdivision
Wozu braucht man das?
Wir haben keine händische Lösungsmethode, um Nullstellen von Funktionen dritten oder höheren Grades zu berechnen. Aber wenn ich eine Funktionsgleichung dritten Grades vorliegen habe - sagen wir - und wenn ich zudem noch eine Nullstelle kenne, zum Beispiel , dann gilt der Satz über die Faktorisierung: Man kann schreiben als: .
Dabei ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades und nennt man den Linearfaktor zur Nullstelle . Die Nullstellen von kann ich dann zum Beispiel mit Hilfe der p-q-Formel berechnen. Denn Nullstellen von sind automatisch auch Nullstellen von .
Genauso wie bei Zahlen
Um die Polynomdivision zu verstehen, müssen wir uns zuerst wieder daran erinnern, wie man schriftlich dividiert, denn Polynomdivision geht fast genau so. Ein Beispiel:
Wer sich beim schriftlichen Dividieren nicht mehr sicher ist, sollte vielleicht ein paar handschriftliche Divisionen durchführen, um sich wieder daran zu erinnern. Auch im Zeitalter der Taschenrechner und Handys sollte man die Grundrechenarten auch mit Stift und Papier noch hinbekommen.
Eine erste Polynomdivision
Gegeben ist die Funktion und die Nullstelle . Dann lässt sich auch schreiben als: , wobei eine Funktion zweiten Grades ist.
Um auszurechnen müssen wir also durch den Linearfaktor teilen:
Schritt1: Suche einen mathematischen Term, der mit multipliziert genau den ersten Term unserer Funktionsgleichung ergibt. Der gesuchte Term ist und dies ist auch schon der erste Teil unseres Ergebnisses. Diesen Term multiplizieren wir mit dem Linearfaktor und schreiben ihn unter die ersten beiden Terme unserer Funktionsgleichung. Wenn wir unseren berechneten Term von der Funktionsgleichung abziehen, dann bleibt ein Rest von :
Die weiteren Schritte: Nun wird der nächste Term der Funktionsgleichung heruntergeholt und das Verfahren beginnt von neuem: Mit welchem Term muss multipliziert werden, damit der Rest herauskommt? Es ist der Term und das ist auch schon der zweite Teil unseres Ergebnisses, der zum ersten Teil addiert wird. Nun wir der Linearfaktor mit multipliziert und wieder unter die Rechnung geschrieben. Als nächster Schritt ist bereits die gesamte Lösung angegeben. Versuchen Sie diese Schritt für Schritt nachzurechnen:
Wenn Sie damit Erfolg hatten, dann gibt es weitere Beispiele für eine Polynomdivision im nächsten Applet, bei dem man sich Schritt für Schritt den Lösungsweg anzeigen lassen kann.