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Einheitskreis und rechtwinklige Dreiecke

Autor:Simon Bender, iherpich

Der Einheitskreis (Applet 1)

Fragen zum Einheitskreis.

Kreuze die richtigen Antworten an. Nutze das Applet wenn du bei Fragen unsicher bist. Welche der folgenden Aussagen trifft auf den Einheitskreis zu:

Wähle alle richtigen Antworten aus
  • A
  • B
Antwort überprüfen (3)

Welche Koordinaten beschreiben einen Punkt auf dem Einheitskreis?

Wähle alle richtigen Antworten aus
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
  • F
Antwort überprüfen (3)

Teil 2: Winkel und Punkte am Einheitskreis

Eine Methode, um die Sinus- und Kosinuswerte schnell zu ermitteln, ist das Ablesen am Einheitskreis. Dazu zeichnet man einen Kreis mit Radius 1. Man lässt nun den Punkt auf dem Einheitskreis gegen den Uhrzeigersinn wandern. Es ergibt sich ein Winkel am Ursprung, den wir α nennen.

Winkel am Einheitskreis (Applet 2)

Nutze das Geogebra-Applet, um folgende Fragen zu beantworten

Welcher Punkt gehört zum Winkel alpha = 45°?

Wähle alle richtigen Antworten aus
  • A
  • B
  • C
Antwort überprüfen (3)

Welcher Winkel gehört zum Punkt (0.97 , 0.26)?

Wähle alle richtigen Antworten aus
  • A
  • B
  • C
Antwort überprüfen (3)

Teil 3: Einfaches Ablesen von Sinus und Cosinus am Einheitskreis

Beachte: Der Abstand von P zum Ursprung ist immer 1, da der Radius 1 ist. Zieht man nun vom Punkt zur x- bzw. y-Achse Verbindungslinien, so entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke. Der Winkel α kommt nochmal im oberen Dreieck aufgrund des Stufenwinkelsatzes (vergleiche Klasse 7) vor.

Dreiecke im Einheitskreis (Applet 3)

Die Trigonometrischen Relationen verraten einem für das untere Dreieck: bzw. für das obere Dreieck: Wie praktisch! Denn unsere Koordinaten des Punkts P sind genau P(Ankathete | Gegenkathete ). Auf diese Art und Weise kann man also jedem Winkel einen Punkt auf dem Einheitskreis und somit den Sinuswert und den Cosinuswert zuordnen.

Welche trigonometrische Funktionen haben Werte auf dem Einheitskreis?

Wähle alle richtigen Antworten aus
  • A
  • B
  • C
Antwort überprüfen (3)
Nutze nun das Arbeitsblatt 1 und bearbeite die Aufgaben 1 und 2. Nutze dazu das Einheitskreis-Applet unterhalb. Bearbeite im Anschluss Aufgabe 3. (Nutze das Applet 5 zur Kontrolle.)

1504_AB

1504_AB.pdf

1504_AB.pdf

Wertetabelle mit dem Einheitskreis (Applet 4)

Teil 4: Die Sinus und Cosinus-Funktion

Wir können nun die ersten Schritte gehen, um die Sinus- und Cosinusfunktion zu visualisieren. Wir ordnen jedem Winkel einen X- bzw. Y-Wert zu und erhalten damit folgende Schaubilder:

Sinus und Cosinus für 0° - 360° (Applet 5)

Teil 5: Verständnisfragen

Wiederholen wir zum Abschluss was wir heute gelernt haben. Wir haben verschiedene Aspekte des Einheitskreis kennengelernt. Was ist der Einheitskreis und wie wird er definiert? Erläutere, wie die Winkelwerte im Einheitskreis dargestellt werden.

Antwort überprüfen

Wie können Sinus- und Kosinusfunktionen zur Berechnung von Höhen und Längen in einem rechtwinkligen Dreieck verwendet werden? Gib ein konkretes Beispiel an, in dem diese Funktionen angewendet werden, um eine unbekannte Länge zu berechnen.

Antwort überprüfen

Zusatz: Ist die Zuordnung von Punkten zu einem Winkel eindeutig?

Antwort überprüfen

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