1) Mittelsenkrechten im Dreieck
a) Gibt es einen gemeinsamen Schnittpunkt?
Zeichne ein beliebiges Dreieck mit den Eckpunkten ABC auf ein leeres Blatt Papier.
(Vereinbarung in Mathe: Bezeichnung mit ABC gegen den Uhrzeigersinn)
Konstruiere auf den drei Dreiecksseiten die Mittelsenkrechten.
Die drei Mittelsenkrechten sollten sich in einem gemeinsamen Punkt schneiden.
Erforsche mit der Geogebra-Zeichnung, ob wir vermuten können, dass sich die Mittelsenkrechten im Dreieck immer in einem Punkt schneiden.
In Zeichnung 1 ist die Konstruktion schon vorgegeben, in Zeichnung 2 kannst du alles selbst konstruieren. Wähle aus.
1) Bewege die Eckpunkte des Dreiecks
2) Erstelle ein Dreieck und die drei Mittelsenkrechten.
b) Schnittpunkt der Mittelsenkrechten im Dreieck
Vermutung: Die Mittelsenkrechten eines beliebigen Dreiecks schneiden sich immer in einem Punkt.
Dürfen wir die Vermutung als immer gültigen Satz formulieren? Also: “In allen Dreiecken schneiden sich die Mittelsenkrechten in einem Punkt”
c) Lage des Schnittpunktes der Mittelsenkrechten im Dreieck
Lies die Argumentation genau durch.
Gehe nur zum nächsten Schritt, wenn du das Argument an einer Zeichnung nachvollziehen kannst..
- Betrachte zwei Mittelsenkrechten, z.B. die auf AB und die auf BC. Diese schneiden sich auf jeden Fall in einem Punkt, nennen wir den Punkt M.
- Alle Punkte auf beiden Mittelsenkrechten sind gleich weit von den jeweiligen Eckpunkten entfernt.
- Also ist M sowohl von A und B als auch von B und C gleich weit entfernt.
- Damit ist M auch von A und C gleich weit entfernt
- M liegt also auf der Mittelsenkrechten von AC.
- Also schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt M.
- M ist gleich weit von allen drei Eckpunkten entfernt.
- Du hast den Kreis kennen gelernt als Ortslinie aller Punkte, die von einem Punkt (dem Mittelpunkt) gleich weit entfernt sind,
- Folglich liegen die drei Eckpunkte des Dreiecks auf einem Kreis.
- Der Mittelpunkt des Kreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.
Bewege die Eckpunkte des Dreiecks. Beobachte, wie sich der Umkreis verändert.
d) Zeichne selbst: Umkreis von Dreiecken konstruieren
Drucke die Datei “Drei Dreiecke” aus oder zeichne ähnlich aussehende Dreiecke selbst.
Nimm für jede Zeichnung ein neues leeres Blatt und zeichne jeweils das Dreieck groß genug in die Mitte.
Konstruiere jeweils die drei Mittelsenkrechten.
Beachte, dass die Hilfslinien zu sehen sein müssen.
Markiere den Umkreis-Mittelpunkt M.
Zeichne den Umkreis und ziehe die Kreislinie farbig nach.
Drei Dreiecke (Rechtsklick auf den Link, dann herunterladen oder in neuem Fenster öffnen)
Lage des Umkreis-Mittelpunkts
Bei spitzwinkligen Dreiecken (alle Winkel unter 90°) liegt der Umkreis-Mittelpunkt ...
Bei rechtwinkligen Dreiecken (ein Winkel 90°) liegt der Umkreis-Mittelpunkt ...
Bei stumpfwinkligen Dreiecken (ein Winkel größer als 90°) liegt der Umkreis-Mittelpunkt ...