Monotonia e Extremos - 11.º ano

Esta tarefa tem por objetivo auxiliar-te a compreender o estudo da monotonia e dos extremos de uma função através do estudo da sua derivada. Segues as instruções a seguir indicadas e responde às questões colocadas.

Instruções de manipulação da aplicação Geogebra "Monotonia e Extremos". O primeiro botão (Reta tangente a

) desenha a reta tangente ao gráfico da função

no ponto

. Movimentando o ponto

sobre a função obtêm-se as diversas retas tangentes ao gráfico. Juntamente com a reta tangente, também é apresentado o valor

que é o declive dessa reta. Como sabes esse declive é igual ao valor da derivada da função no ponto

. Associando um ponto (no caso o ponto

, que se obtém clicando no botão Declives) a cada um dos declives da reta tangente, constrói-se o gráfico

derivada de

. Podes verificar isso clicando no botão Função

' (derivada de

) e movimentando o ponto

(os diferentes valores de

coincidem com o gráfico da derivada). Para responderes às questões que se seguem desmarca os botões Reta tangente e Declives para que a aplicação apenas apresente os gráficos da função original

e da sua derivada

. Irás analisar e comparar estes estes gráficos. Regista as tuas respostas na ficha de apoio distribuída.

Encontra os zeros da derivada.

Revisa tu respuesta

Por observação da representação gráfica da função

faz uma análise da sua monotonia e respetivos extremos. Organiza a informação recolhida da análise do gráfico de

na tabela 1 (tabela de monotonia da função

) da ficha anexa a esta tarefa.

Por observação da representação gráfica da função

faz uma análise dos zeros e do seu sinal. Organiza a informação recolhida da análise do gráfico na tabela 2 (tabela de variação sinal da derivada) da ficha anexa a esta tarefa.

Organiza a informação das duas tabelas anteriores numa única tabela, tabela 3, e compara a informação recolhida nas duas tabelas. Que relação existe entre o sinal da derivada e a monotonia da função?

Quais são os pontos onde a derivada muda de sinal? Compara esses pontos com os extremos relativos da função.

Quais são os pontos onde a derivada não muda de sinal? Compara esses pontos com os extremos relativos da função.

Em que condições os zeros da derivada correspondem a máximos?

Em que condições os zeros da derivada correspondem a mínimos?

Conjetura acerca da relação existente entre a derivada de uma função e sua monotonia, bem como quanto à existência de extremos e à sua natureza.

O que aprendeste com a realização desta tarefa?

Monotonia e Extremos - 11.º ano

Esta tarefa tem por objetivo auxiliar-te a compreender o estudo da monotonia e dos extremos de uma função através do estudo da sua derivada. Segues as instruções a seguir indicadas e responde às questões colocadas.

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