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Le equazioni

Vogliamo scrivere le equazioni generali che descrivono la trasformazione del punto P nel suo simmetrico rispetto all'asse ax+by+c=0.

Un caso semplice

Prima di affrontare il caso generale vediamo un caso semplice, ovvero il caso in cui l'equazione generica dell'asse è x=k (ovvero siamo nel caso in cui b=0). Osserviamo che questo è un caso che si trova molto spesso nella vita di tutti i giorni, come puoi vedere nell'immagine qui sotto:
Image
Dato un punto P, l'equazione della trasformazione la otteniamo imponendo che:
  • Il punto medio M tra P e P' appartenga alla retta x=k
  • La retta PP' sia perpendicolare alla retta x=k
Imponendo la prima condizione si ottiene che ovvero x'=-x+2k La seconda condizione invece ci dice che la retta PP' è parallela all'asse x. Questo ci dice che y'-y=0, ovvero che y'=y. Questo ci dice che

Prova Tu!

Il punto P', simmetrico di P=(1,2) rispetto all'asse x=3, ha coordinate:

Marca todas las que correspondan
  • A
  • B
  • C
  • D
Revisa tu respuesta (3)

Caso generale

Visto che il caso b=0 lo abbiamo trattato a parte, possiamo considerare la scrittura seguente della retta:

dove e

Siano quindi l'equazione della retta r, il punto iniziale e P' il simmetrico di P rispetto all'asse r.
Le equazioni della trasformazione le otteniamo imponendo le due condizioni che definiscono la simmetria assiale, ovvero:
  • il punto medio M appartiene alla retta r
  • la retta PP' deve essere perpendicolare ad r quindi il suo coefficiente angolare m' deve essere
Risolviamo quindi il sistema: e otteniamo In alcuni casi particolari queste trasformazioni si semplificano molto, ad esempio: - Simmetria rispetto all'asse : - Simmetria rispetto all'asse : - Simmetria rispetto alla bisettrice I-III quadrante: - Simmetria rispetto alla bisettrice II-IV quadrante:

Prova Tu!

Guarda attentamente l'immagine qui sotto:
Image

Il punto simmetrico di P=(1,2.5) rispetto all'asse 2x+y=1 é:

Marca todas las que correspondan
  • A
  • B
  • C
Revisa tu respuesta (3)