Conexiones en las celdillas del panal de abejas
Hemos estudiado en las secciones anteriores que el prisma hexagonal se produce cuando la abeja intenta construir un recipiente cilíndrico que minimiza la superficie (cera) para un volumen máximo de miel que garantice el alimento de su descendencia.
La cuestión que nos planteamos es si las abejas utilizan el razonamiento matemático para hacer sus construcciones o se debe a otras causas.
Las conexiones entre prismas.
Como ya hemos comentado, los prismas se organizan en dos capas que se dirigen en direcciones paralelas pero en sentido contrario. Profundizaremos ahora en el estudio de la forma de conectar unos prismas con otros.
Siguiendo la idea anterior de maximizar el recinto utilizando la menor cantidad de cera, no van a hacer un suelo plano, intentan que sea esférico que permite acumular más miel. La conexión de unas esferas con otras también resuelve un problema geométrico de ahorro de paredes (cera). Cada prisma (que viene de un cilindro) se colocará en la unión de otros tres prismas que vienen en sentido contrario y las intersecciones de unas esferas y otras darán lugar a caras planas que cierran la base del prisma y lo conectan a los otros.
El applet nos presenta esta situación: un prisma rojo con su esfera, va a acoplarse con otros tres de color verde que vienen en el otro sentido. La animación nos permite comprobar cómo las intersecciones de esas esferas producen circunferencias que, por compresión, se hacen cada vez más grandes hasta formar los rombos del dodecaedro formado por rombos iguales con ángulos de 129.47º y 70.53º), y con la particularidad de rellenar el espacio sin dejar huecos.
Tenemos dos deslizadores que permiten modificar el tamaño de los hexágonos y detener/reanudar la animación que presenta el acercamiento de los prismas. Además, disponemos de cinco casillas de control que hacen que podamos mostrar u ocultar algunos elementos de la construcción para dedicar a nuestra atención a los que dejemos a la vista.
Esta construcción geométrica tiene una ventaja adicional, el panal no tiene líneas de fractura que puedan hacer peligrar la estabilidad de la construcción.
El applet con realidad aumentada en tu móvil
Celdillas vecinas
Dada una celdilla ¿Con cuántas celdillas comparte una cara? ¿Con cuántas comparte al menos una arista? ¿Con cuántas comparte algún vértice?
José A. Pina ha pasado las construcciones de las celidllas con GeoGebra a archivos stl para imprimirlas en 3D con estos resultados
Esta actividad pertenece al libro La geometría del panal de José Antonio Mora.