Vectores de posición, velocidad y aceleración
vector velocidad y aceleración
Vectores posición, velocidad y aceleraciónLa Cinemática es la parte de la Mecánica que se ocupa de describir el movimiento de partículas, objetos o grupos de objetos. En estas páginas analizaremos el movimiento de una partícula puntual que describe una trayectoria cualquiera como la representada en negro en la siguiente figura. Por simplicidad, en la figura se ha representado una trayectoria plana, pero dicha trayectoria puede ser tridimensional.
En la figura anterior se ha representado también un sistema de referencia en reposo en el cual el observador O se encuentra en el origen de unos ejes cartesianos. Dicho sistema de referencia se denomina inercial. El sentido positivo de los tres ejes cartesianos se indica respectivamente mediante los vectores unitarios i, j y k. Describiremos el movimiento de la partícula con respecto a este sistema de referencia.
El movimiento de una partícula se describe mediante tres vectores: posición, velocidad y aceleración.
El vector de posición (representado en verde en la figura) va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula. En componentes cartesianas viene dado por:
Las componentes del vector de posición dependen del tiempo puesto que la partícula está en movimiento. Con el objeto de simplificar la notación con frecuencia omitiremos dicha dependencia en las expresiones de los vectores.
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo:
Que también puede ser expresado:
El vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria de la partícula en cada punto de la misma.
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad:
Que también puede ser expresado en la forma:
El vector aceleración es la variación del vector velocidad a lo largo del tiempo. Por tanto debe apuntar siempre hacia dentro de la trayectoria de la partícula, como se observa en la figura.
En estas páginas encontrarás numerosos problemas donde aprenderás a calcular estos tres vectores en diferentes situaciones.
El vector aceleración puede ser expresado en función de sus proyecciones sobre un sistema de referencia que se mueve con la partícula y cuyos ejes son tangente y perpendicular (o normal) a la trayectoria de la misma en cada punto. Dichas proyecciones se denominan componentes intrínsecas de la aceleración.
En la figura superior se observa que el vector aceleración puede ser expresado como la suma de sus componentes intrínsecas, denominadas respectivamente aceleración tangencial y aceleración normal (o centrípeta):
La aceleración tangencial viene dada por:
Donde ut es un vector unitario tangente a la trayectoria en cada punto que se determina dividiendo el vector velocidad por su módulo:
La aceleración tangencial proporciona información sobre la variación del módulo del vector velocidad.
Por otra parte, la aceleración normal (o centrípeta) viene dada por:
Donde un es un vector unitario perpendicular a la trayectoria en cada punto y ρ es el radio de curvatura de la trayectoria.
La aceleración normal proporciona información sobre la variación de la dirección del vector velocidad. Si una partícula describe una trayectoria recta, el radio de curvatura de la misma es infinito y por tanto su aceleración normal es nula.
En el caso particular de una trayectoria circular, el módulo de la aceleración normal es:
En la figura anterior se ha representado también un sistema de referencia en reposo en el cual el observador O se encuentra en el origen de unos ejes cartesianos. Dicho sistema de referencia se denomina inercial. El sentido positivo de los tres ejes cartesianos se indica respectivamente mediante los vectores unitarios i, j y k. Describiremos el movimiento de la partícula con respecto a este sistema de referencia.
El movimiento de una partícula se describe mediante tres vectores: posición, velocidad y aceleración.
El vector de posición (representado en verde en la figura) va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula. En componentes cartesianas viene dado por:
Las componentes del vector de posición dependen del tiempo puesto que la partícula está en movimiento. Con el objeto de simplificar la notación con frecuencia omitiremos dicha dependencia en las expresiones de los vectores.
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo:
Que también puede ser expresado:
El vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria de la partícula en cada punto de la misma.
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad:
Que también puede ser expresado en la forma:
El vector aceleración es la variación del vector velocidad a lo largo del tiempo. Por tanto debe apuntar siempre hacia dentro de la trayectoria de la partícula, como se observa en la figura.
En estas páginas encontrarás numerosos problemas donde aprenderás a calcular estos tres vectores en diferentes situaciones.
El vector aceleración puede ser expresado en función de sus proyecciones sobre un sistema de referencia que se mueve con la partícula y cuyos ejes son tangente y perpendicular (o normal) a la trayectoria de la misma en cada punto. Dichas proyecciones se denominan componentes intrínsecas de la aceleración.
En la figura superior se observa que el vector aceleración puede ser expresado como la suma de sus componentes intrínsecas, denominadas respectivamente aceleración tangencial y aceleración normal (o centrípeta):
La aceleración tangencial viene dada por:
Donde ut es un vector unitario tangente a la trayectoria en cada punto que se determina dividiendo el vector velocidad por su módulo:
La aceleración tangencial proporciona información sobre la variación del módulo del vector velocidad.
Por otra parte, la aceleración normal (o centrípeta) viene dada por:
Donde un es un vector unitario perpendicular a la trayectoria en cada punto y ρ es el radio de curvatura de la trayectoria.
La aceleración normal proporciona información sobre la variación de la dirección del vector velocidad. Si una partícula describe una trayectoria recta, el radio de curvatura de la misma es infinito y por tanto su aceleración normal es nula.
En el caso particular de una trayectoria circular, el módulo de la aceleración normal es: