Las cónicas como envolventes
Esta forma de introducir las curvas, nos permite efectuar las derivadas de primer y segundo orden, de x e y respecto del parámetro t, de forma que podemos estudiar el comportamiento de la curva, así como representarla el plano afín euclideo.
A partir de ciertas familias de rectas, se genera como envolventes las curvas CÓNICAS en el plano.
ELIPSE
Sean dos rectas perpendiculares e y h (podemos considerar e=OX y h=OY)
Si (focos de la elipse), con OF=-OF'.
Si P es un punto de la circunferencia de centro y radio
Si r es la semirrecta de origen F, que pasa por P, y s la semirrecta de origen F' que pasa por P.
Las rectas perpendiculares a r y s, que pasan por P, cuando P gira alrededor de la circunferencia, generan como envolvente la elipse de focos F y F'.
Nota.- Si F=F'=O, se genera la circunferencia de centro O y radio F.
ELIPSE COMO ENVOLVENTE
HIPÉRBOLA
Sean dos rectas perpendiculares e y h (podemos considerar e=OX y h=OY)
Si F y F' e (focos de la hipérbola), con OF=-OF'.
Si P es un punto de la circunferencia de centro y radio r .
Si r es la semirrecta de origen F, que pasa por P, y s la semirrecta de
origen F' que pasa por P.
Las rectas perpendiculares a r y s, que pasan por P, cuando P gira
alrededor de la circunferencia, generan como envolvente la hipérbola de
focos F y F'.
HIPÉRBOLA COMO ENVOLVENTE
PARÁBOLA
Sean dos rectas perpendiculares e y h (podemos considerar e=OX y h=OY)
Si F e (foco de la parábola).
Si P es un punto de h (distinto de O).
Si r es la semirrecta de origen F, que pasa por P,
Las rectas perpendiculares a r que pasan por P, cuando P se mueve a lo largo de e, genera como envolvente la parábola de foco F.