Maiestas Domini. Mandorla y circunferencias

Ejercicio: una aproximación de este número, conocida desde la antigüedad, es mediante un número racional con denominador 153. Utiliza tu calculadora para descubrir con qué numerador (entero) la aproximación es más correcta.

• Calcula con 4 decimales, tanto esa fracción como la raíz,
• Esa aproximación es la mejor (se comete menos error) de que puede conseguirse usando una fracción con un denominador menor o igual que 153. Calcula los errores absoluto y relativo al tomar esa fracción como si fuese el verdadero valor de la raíz. (*) La demostración de este hecho se basa en que es una de las fracciones que aparece en la expresión de como fracción continua (y estos "convergentes" son las mejores aproximaciones).

• Es un número triangular. Concretamente, 153=1+2+3+...+17,
• Ejercicio haz una representación, en forma de triángulo equilátero, de este número triangular. Por ejemplo, para 1+2, lo representaríamos como ∴, para 1+2+3 añadiríamos 3 puntos debajo, etc.
• Ejercicio ¿Sabrías qué fórmula usar para comprobarlo sin tener que sumar todos los números uno a uno? (si no lo conoces, puedes hacer la comprobación con la calculadora).
• Ejercicio: ¿cómo habrías utilizado esa fórmula para averiguar que precisamente hay que sumar los números desde 1 hasta 17?
• Ejercicio: la suma de todos sus divisores, salvo él mismo, es un cuadrado perfecto. Compruébalo, indicando qué cuadrado resulta.
• Es igual a la suma de los números factoriales del 1 al 5: 153=1!+2!+3!+4!+5!
Respecto sus cifras
• Si cambiamos el orden de sus cifras, ¡también resulta un número triangular! 351=1+2+3+...+26.
• La suma de sus cifras es un cuadrado perfecto, pues .
• Es el número más pequeño que puede ser expresado como la suma de los cubos de sus dígitos: .
• Es un "número de Harshad", porque es divisible entre la suma de sus dígitos. Concretamente: .

Rodeando la imagen de Cristo, podemos ver cuatro circunferencias, que contienen representaciones de un hombre y tres animales, conocidas como tetramorfos. Fíjate en que nuestra modelización se hecho para para que las circunferencias sean tangentes a las utilizadas al crear la mandorla.

• Además, las dos superiores tienen su centro en las esquinas del "rectángulo sagrado", que es el que tiene sus lados tangentes a la mandorla. Podemos visualizarlo marcando la casilla Rec. sagrado. Sus esquinas superiores vienen determinadas por estos lados verticales y el hecho de que la circunferencia del tetramorfo correspondiente será tangente tanto a la mandorla como a la circunferencia de con centro el centro del rombo y el radio usado para la mandorla.
• La disposición de 5 puntos, con 4 en las esquinas de un rectángulo y uno en el centro, similar a la del número 5 en un dado, se denomina quincunce. En el cristianismo puede asociarse con la crucifixión de Cristo, situando a los cuatro evangelistas o a los cuatro elementos en las esquinas, y el punto central como representación de la cruz, o de la divinidad que los une.

1. Este rectángulo no tiene como eje de simetría la línea que une los centros de las circunferencias iniciales. Para explicarlo, vamos a lanzar la hipótesis de que se han tomado otras medidas como referencia.
   • Vamos a describir matemáticamente qué medidas hemos puesto como hipótesis.
   • Para ello, marca la casilla "otras medidas", y establece las relaciones pertinentes a partir del radio de los elementos que se muestran: una circunferencia en la parte superior izquierda y un cuadrado en la inferior central.
2. Los dos tetramorfos inferiores no están centrados en las esquinas del rectángulo sagrado. Fíjate que esto, unido a la condición de tangencia, influye ligeramente en el radio de las correspondientes circunferencias.
• Como extra, en el applet se permite que muevas esas circunferencias libremente, para que veamos cómo va cambiando el radio si seguimos imponiendo la condición de tangencia. Cada vez que pulsemos en Tetramorfos, volverán a su posición original.
• Los centros de las circunferencias se mantienen sobre una curva, que no es exactamente una circunferencia y se visualiza marcando la casilla Extras ¿qué tipo de curva crees que puede ser (no es necesario que lo demuestres)? (puedes desmarcar las demás, si ves que aparecen muchas)
• Utilizando esa curva, razona si habría sido posible situar los dos tetramorfos inferiores en las esquinas del rectángulo sagrado.
• Describe, matemáticamente, en qué lugar se ha situado, para la modelización, el centro de las circunferencias. Como pista, puedes marcar la casilla Otras medidas. Quizás esto se ha utilizado con motivos artísticos, para romper la simetría en la composición llamando la atención sobre la presencia de los tetramorfos en el grabado, o se ha aprovechado para reforzar la simbología del grabado, al relacionarlo con el Rombo divino. ¿Qué opinas?

• Por otra parte, un cuadrado puede ser visto como un símbolo de la creación y del mundo material. Un eje vertical dentro del cuadrado podría simbolizar la conexión entre el cielo y la tierra, y uno horizontal la conexión entre el ser humano y la naturaleza.
• Busca en el grabado representaciones de cuadrados con estos dos ejes dibujados en su interior. Indica dónde los has encontrado y cuántos hay.