Vorgehensweise
Wozu braucht man das?
Bisher waren alle Funktionsgleichungen durch Aufgabenzettel oder Mathematikbücher vorgegeben. Woher kommen diese Funktionsgleichungen? Tatsächlich kann sich jeder auch selbst maßgeschneiderte Funktionsgleichungen erstellen. Das heißt es ist möglich, Funktionsgleichungen zu finden, die tatsächlich auf realen Messwerten beruhen. Im Folgenden wird beschrieben, wie das geht.
In diesem Kapitel werden wir nur ganzrationale Funktionen erstellen. Wer nicht mehr so genau weiß, was das ist, kann hier noch einmal nachschauen.
Unter anderem finden wir unter dem oben stehenden Link folgende Aussage: Eine Funktion -ten Grades ist durch Punkte eindeutig bestimmt.
- Wenn ich 5 Punkte vorgegeben habe, durch die mein Funktionsgraph verlaufen soll, dann kann das nur mit einer Funktion 4-ten Grades geschehen.
- Wenn ich eine Funktion 3-ten Grades erzeugen möchte, dann brauche ich dazu 4 Informationen, zum Beispiel 4 Punkte, die der Funktionsgraph schneiden soll.
Die Vorgehensweise - ein Rezept
- Einen Prototyp für die Funtionsgleichung bestimmen: Als erstes muss man sich im Klaren sein, was für eine Funktion erstellt werden soll. Eine Funktion ersten, zweiten oder dritten oder noch höheren Grades? Wenn diese Entscheidung gefallen ist, dann kann für diese Funktion ein Prototyp erstellt werden. Für eine Funktion 3-ten Grades lautet der Prototyp:
- Welche Bedingungen soll diese Funktion erfüllen. Man braucht so viel Bedingungen, wie unbekannte Parameter im Prototyp zu finden sind. Im Prototyp der Funktion 3-ten Grades sind dieses die Zahlen , , und . Es werden also vier Bedingungen benötigt, das können zum Beispiel 4 Punkte sein, die der Funktionsgraph schneiden soll.
- Aus diesen Bedingungen wird ein Gleichungssystem erstellt.
- Dieses Gleichungssystem wird gelöst. Händisch mit dem Gauß'schen Algorithmus oder mit einem Taschenrechner. In unserem Beispiel dritten Grades erhält man als Ergebnis sind die Zahlen , , und , die dann in den Prototyp eingesetzt werden und fertig ist die gesuchte Funktionsgleichung.
Ein Beispiel:
Hier ist das Bild von einem Wasserstrahl. Ein Wasserstrahl ist immer eine Parabel, das heißt eine Funktion zweiten Grades. Für eine Funktion zweiten Grades braucht man drei Bedingungen, also zum Beispiel 3 Punkte. Wenn die Rechnung fertig ist, dann kann die gefundene Gleichung unten in die Eingabezeile eingetragen werden und dann sollte der dadurch entstehende Funktionsgraph genau auf dem Wasserstrahl liegen. Probieren Sie wir es aus:
Lösung zu Strahl1:
- Da das Ergebnis eine Parabel, eine ganzrationale Funktion zweiten Grades, sein muss, ist der gesuchte Prototyp der Funktion:
- Nun suchen wir uns drei Punkte heraus, die möglichst genau auf der Parabel liegen: , und . Wenn der Funktionsgraph von durch den Punkt geht, dann heißt dass für die Funktionsgleichung, dass . Genauso gilt dann für den Punkt , dass und für , dass .
- Diese drei Bedingungen können nun in den Prototypen eingesetzt werden, und wir erhalten ein Gleichungssystem:
- Dieses Gleichungssystem lässt sich mit einem CAS-Taschenrechner lösen: Hier am Beispiel des HP-Prime:
- Speichern Sie den Term a2*x^2 + a1*x + a0 unter dem Namen f(x) ab
- Dann: solve( { f(1)=3 , f(4)=6 , f(8)=3 } , { a2, a1, a0}) Dabei dürfen Sie keine Klammer und auch kein Komma vergessen. Statt { a2, a1, a0} kann auch [ a2, a1, a0] geschrieben werden.
- Als Ergebnis erhält man: , und
- Einsetzen in den Prototyp und wir erhalten die gesuchte Funktionsgleichung:
Weitere Aufgaben
Auf der Geogebra-Animation oben lassen sich noch weitere Wasserstrahlen betrachten. Berechnen Sie auch dazu die Funktionsgleichungen.
Sie können Ihr Ergebnis selbst auf Richtigkeit prüfen, indem Sie das Ergebnis in die Eingabezeile eingeben. Dann sollte Ihr Funktionsgraf - wenn er richtig ist - genau auf dem Wasserstrahl des Bildes liegen.