Erweiterung des Sinus auf alle reellen Zahlen
Information
In rechtwinkligen Dreiecken konnten wir Sinus, Cosinus und Tangens für Winkel zwischen 0° und 90° definieren. Mithilfe des Einheitskreises haben wir eine Möglichkeit bekommen, Sinus und Cosinus für alle Winkel von 0° bis 360° zu berechnen. Wir werden uns ab hier schwerpunktmäßig mit dem Sinus beschäftigen.
Es ist nun naheliegend, den Sinus - wenn möglich - auf die ganze Menge zu erweitern.
Was versteht man aber unter einem Winkel =400° oder =-45°?
Die Bewegung des Punktes entlang des Einheitskreises kann man mit einem Winkel beschreiben. Bei 400° durchläuft der Punkt gegen den Uhrzeigersinn einmal komplett die Kreislinie und bewegt sich anschließend um 40° weiter. Es gilt also sin(400°)=sin(40°).
Bei -45° bewegt sich der Punkt um 45° im Uhrzeigersinn. Es gilt also sin(-45°)=sin(315°) Man kann dieses Prinzip natürlich auch auf Winkel im Bogenmaß anwenden
Mit diesem Applet kannst du kontrollieren, ob du die Inhalte richtig verstanden hast.
Aufgabe 1:
Vollziehe am Einheitskreis (und ggf. an konkreten Beispielen) nach, dass die folgenden Gleichungen gelten:
a)
b)
c)
Notiere die Gleichungen in deiner Doku. Ergänze jeweils ein konkretes Zahlenbeispiel. Veranschauliche den Zusammenhang bei b) und c) zudem durch eine Skizze. Wie kann man die gleichen Gleichungen mit dem Bogenmaß formulieren?
Aufgabe 2:
Bearbeite von der folgenden (eingebundenen) Website Aufgabe 1, 5abcf und 6ac online mit Selbstkontrolle. Dabei helfen dir die Gleichungen aus Aufgabe 1.