Derivabilidade
Derivada
Definição: Considere a função e seja . Dizemos que é derivável em , se existe. Neste caso, definimos a derivada de em , denotada por ou , como sendo o valor deste limite.
Sendo assim, temos que:
" é derivável em se e somente se suas funções coordenadas são deriváveis em e, neste caso, "
- Logo abaixo, há um exemplo de interpretação geométrica da derivada de uma função vetorial . Deslize os parâmetros e para ver o que acontece com o vetor e com o vetor , que é um múltiplo escalar do vetor anteriormente mencionado. Ao fazermos , observamos que esse vetor se aproxima de um vetor sobre a reta tangente à curva em questão no ponto . Por esta razão, é chamado de vetor tangente à curva , parametrizada por no ponto . Mais para frente será apresentado o conceito formal de reta tangente à uma curva.
Interpretação geométrica da derivada no plano
Interpretação geométrica da derivada no espaço
Exemplos de curvas no plano
Observe no recurso abaixo, alguns exemplos de curvas no plano. Deslize o parâmetro e verifique o que acontece com o vetor tangente à curva. Para uma melhor visualização, selecione UMA caixa de cada vez.
Em particular, na curva há um fenômeno interessante de se observar. Perceba que o vetor tangente em é o vetor nulo. Porém, isso não significa que a função não é diferenciável em . Na realidade, ela é diferenciável (note que suas coordenadas são funções diferenciáveis). Isso parece conflitar com o que vemos em Cálculo , por exemplo na função , onde há um "bico", certo? Só que aqui o cenário é outro: o que estamos vendo é o traço da função definida de e o que vemos em Cálculo é o gráfico de uma função definida de . Quando falamos de diferenciabilidade, estamos interessados em como se comporta o gráfico da função, não o traço dela, por isso há tal diferença: para a diferenciabilidade de uma função vetorial, pouco importa se o traço contém "bicos/quinas" ou não, desde que o gráfico da mesma seja uma curva suave, a função será diferenciável. Pode-se pensar também que o vetor tangente chega no ponto e o deixa com velocidade nula, o que faz com que a função vetorial seja diferenciável em .
Ver seção 13.2 pág. 767 do livro Cálculo, Vol. 2, James Stewart, Cengage Learning, 7a. edição, 2013.
Exemplos de curvas no espaço
Observe no recurso abaixo, alguns exemplos de curvas no espaço. Deslize o parâmetro e verifique o que acontece com o vetor tangente à curva. Para uma melhor visualização, selecione UMA caixa de cada vez.
Ver seção 13.2 pág. 767 do livro Cálculo, Vol. 2, James Stewart, Cengage Learning, 7a. edição, 2013.
Reta tangente
Definição: Seja uma função contínua e injetora. Dado um ponto , onde é a curva parametrizada por no plano, se existe e é não nulo, as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto são dadas por:Se é uma curva no espaço, as equações paramétricas da reta tangente nas mesmas condições serão:
- Há um recurso abaixo no qual você pode determinar a curva com a qual quer trabalhar. Você poderá definir o domínio de e o valor dele para o qual deseja calcular a reta tangente. (O recurso abaixo em particular foi feito pelo aluno Raphael Brandão)