Valjak
Motivacija i osnovni dijelovi valjka
Promotrimo slike na kojima se nalaze konzerva graha, rola ubrusa za ruke i hokejaški pak. Što im je zajedničko? Koji se oblici pojavljuju kod sva tri proizvoda?
Možemo zaključiti da svaki proizvod na prethodnim slikama omeđuju dva sukladna kruga i jedna zakrivljenja ploha.
Definicija.
Valjak je geometrijsko tijelo omeđeno dvama sukladnim krugovima koji leže u paralelnim ravninama i koje nazivamo bazama valjka, te zakrivljenom plohom koju nazivamo plaštem valjka.
Ako na prethodnom prikazu označimo središta baza sa S i S', te povučemo pravac kroz njih dobit ćemo pravac koji nazivamo os valjka.
Definicija.
Os valjka je pravac koji prolazi središtima gornje i donje baze valjka.
Dodajmo dužinu na plašt valjka tako da joj jedna krajnja točka pripada kružnici prve baze, a druga krajnja točka pripada kružnici druge baze, pri čemu je ta dužina paralelna s osi valjka. Dobivenu dužinu nazivamo izvodnica valjka.
Definicija.
Izvodnica valjka je dužina koja pripada plaštu valjka, usporedna je s njegovom osi, a rubne točke pripadaju kružnicama koje omeđuju baze valjka.
U nastavku proučimo dva valjka. Koja je razlika među njima? Koji je odnos između osi valjka i njegove baze?
Definicija.
Kažemo da je valjak je uspravan ako je njegova os okomita na ravninu baze. Ukoliko os valjka nije okomita na ravninu baze onda kažemo da je valjak kos.
Povucimo sada dužinu iz središta gornje baze okomito na ravninu u kojoj leži donja baza. Dobivenu dužinu nazivamo visina valjka.
U kojem su odnosu visina valjka i njegove izvodnice kada se visina poklopi s osi valjka?
Definicija.
Visina valjka h je udaljenost njegovih baza. Za uspravni valjak vrijedi da je visina jednaka duljini njegove izvodnice.
U nastavku se zadržavamo na uspravnim valjcima.
Prisjetimo se role ubrusa za ruke. Koji geometrijski lik dobivamo kada odmotamo i otrgnemo jedan komad ubrusa? Pokušajte preklopiti dvije nasuprotne stranice lista papira. Je li novi oblik nalik plaštu nekog valjka?
Kad se plašt uspravnog valjka „odmota“ u ravninu, dobiva se pravokutnik. Označimo duljine stranica dobivenog pravokutnika s a i b. Ako sa r označimo duljinu polumjera baze valjka i sa h visinu valjka onda vrijedi:
Oplošje valjka
Prisjetimo se kako je oplošje O geometrijskog tijela jednako zbroju površina svih njegovih strana. Uspravni valjak je omeđen sa dva kruga B koji su mu baze, te plaštem P koji se razmota u pravokutnik. Tada je oplošje O valjka i vrijedi:
Odnosno, oplošje valjka računa se po formuli:
Volumen valjka
Prisjetimo se kako sva tijela zauzimaju određeni prostor. Mjeru zauzetog prostora nazivamo volumen ili obujam tijela. Volumen (obujam) valjka V računa se općenito kao i volumen prizme, tj. vrijedi:
Kako je B površina kruga, tj. baze valjka polumjera r, formula ta volumen valjka glasi:
1. Zadatak
Visina svakog valjka jednake je duljine kao i njegova izvodnica.
2. Zadatak
Koje su navedene tvrdnje točne?
3. Zadatak
Površina baze valjka iznosi cm2. Ako je visina valjka dm koliko iznosi oplošje valjka? Koliki je volumen tog valjka?
4. Zadatak - problemski zadatak
Vedran je kupio kalup za led koji se sastoji od 10 praznih posuda oblika valjaka polumjera 1 cm i visine 2 cm koje je napunio sokom od jagode. Prijateljice Ana i Katarina žele mu napakostiti na način da potpuno isprazne kalup i napune ga ljutim umakom iz pune bočice volumena 0.07 L. Hoće li Ana i Katarina imati dovoljno ljutog umaka da napune kalup za led ?