Fünf platonische Körper
Warum fünf?
Will man Flächen zu einem Körper zusammenfalten, dann benötigt man mindestens drei Flächen, die an einer Ecke zusammenstoßen. Damit dies im Raum gelingt, müssen diese Flächen in der Ebene eine 'Lücke' haben. Diese Lücke besagt, dass die Winkelsumme der drei aneinanderstoßenden regulären Polygone kleiner als 360° ist.
Das kleinste reguläre Polygon ist das gleichseitige Dreieck, dessen Innenwinkel alle jeweils 60° betragen.
Drei reguläre Dreiecke bilden an ein Ecke in der Ebene einen Winkel von 180°, aber es sind auch noch weitere Szenarien möglich:
drei reguläre Dreiecke: 180°, das führt zum Tetraeder.
vier reguläre Dreiecke: 240°, das führt zum Oktaeder,
fünf reguläre Dreiecke: 300°, das führt zum Ikosaeder.
Sechs reguläre Dreiecke haben 360°, und bilden keine Lücke mehr.
Das nächsthöhere reguläre Polygon ist das Quadrat, mit den Innenwinkeln von jeweils 90°.
drei reguläre Vierecke: 270°, das führt zum Hexaeder (Würfel).
Vier reguläre Vierecke haben an einer Ecke 360°, und bilden keine Lücke mehr.
Nun folgt dasreguläre Fünfeck (Pentagon) als nächsthöheres Polygon, mit den Innenwinkeln von jeweils 108°.
drei reguläre Fünfecke: 324°, das führt zum Dodekaeder.
Vier reguläre Fünfecke übersteigen das Winkelmaß von 360° und können somit keinen Körper mehr bilden.
Mit der Innenwinkelgleichung: überzeugt man sich leicht, dass beim regulären Sechseck (also n = 6) die Innenwinkel 120° betragen müssen, so dass bei drei regulären Sechsecken keine Lücke mehr bleibt.
Für alle folgenden regulären Polygone ist die Winkelsumme an einer Ecke immer größer als 360°, so dass tatsächlich nur mit den genannten regulären Flächen reguläre Körper gebildet werden können.
Lässt man Mischflächen zu, so gelangt man zu den Archimedischen Körper, die in einem Extrabuch behandelt werden.
Das nachfolgende Applet zeigt wie man von den regulären Flächen zu den regulären Körpern kommt und diese dann zum Bastelelement auffalten kann.