Das Funktionsmikroskop
Wenn man den Graphen einer Funktion stark vergrößert, so stellt man fest, dass man den
Graphen nicht mehr von einer linearen Funktion unterscheiden kann.
Von linearen Funktionen kann man die Steigung bestimmen.
Unter der Steigung einer beliebigen Funktion an einer Stelle kann man sich
vorstellen, dass man den Funktionsgraphen an dieser Stelle so stark vergrößert,
dass er nicht mehr von einer linearen Funktion zu unterscheiden ist und man
dann die Steigung an dieser Stelle bestimmt.
Schieben Sie den Punkt auf der Parabel an eine beliebige Stelle und vergrößern Sie den
Ausschnitt, indem sie den Schieberegler bewegen.
Wenn Sie den Ausschnitt genügend stark vergrößert haben,
erscheint ein Steigungsdreieck.
Zur
Erinnerung:
Wenn man die Steigung einer linearen Funktion am Grafen bestimmen will,
Wenn man die Steigung einer linearen Funktion am Grafen bestimmen will,
- sucht man sich zunächst 2 Punkte auf dem Graphen, die man gut ablesen kann.
- Mithilfe zweier Pfeile zeichnet man eine Verbindung zwischen den beiden Punkten.
- Die Länge der Pfeile liest man mithilfe der Achsen ab.
- Hat der Pfeil die gleiche Richtung wie die Achse, so ist die Länge des Pfeils positiv zu nehmen.
- Hat der Pfeil die entgegengesetzte Richtung, so ist die Länge des Pfeils negativ zu nehmen.
- Die Steigung bestimmt man, indem man die Länge des vertikalen Pfeils durch die Länge des horizontalen Pfeils teilt. In den beiden Beispielen:
Aufgabe:
Verschieben Sie den Punkt auf dem Grafen der quadratischen Funktion an unterschiedliche
Stellen x_0 , vergrößern sie
anschließend den Ausschnitt des Grafen, bis sie das Steigungsdreieck sehen, Berechnen
Sie an dieser Stelle die Steigung und tragen Sie anschließend x_0 und die
Steigung in die folgende Tabelle ein.
Damit die Wertepaare in der Grafik erscheinen, müssen Sie daraus eine Punktliste erzeugen. Dazu markieren Sie die Werte, wählen das Werkzeug "Punktliste", geben der Punktliste einen beliebigen Namen. Anschließend erscheinen die Punkte im Koordinatensystem. (Sie Animation unter dieser Aufgabe)
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer Funktion, deren Graph durch diese Punkte
verläuft.
Führen Sie die gleiche Aufgabe auch noch einmal mit dem Graphen der Funktion
durch.
Können Sie auch für diese Funktion die Funktionsgleichung angeben?