Derivadas y sus Aplicaciones
· Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función
· Obtener máximos y mínimos relativos
· Problemas de optimización
· Obtener intervalos de concavidad y convexidad
· Obtener puntos de inflexión
Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función
Si una función f cumple que su derivada es mayor que 0 en un intervalo, entonces f es creciente en ese
intervalo
f´ > 0 entonces f es creciente
Si una función f cumple que su derivada es menor que 0 en un intervalo, entonces f es decreciente en ese intervalo
f´ <0 entonces f es decreciente
Obtener máximos y mínimos relativos
· Máximos
Si una función pasa de crecer a decrecer en un punto Xo en ese punto hay un máximo relativo
Los puntos candidatos a ser máximos relativos son aquellos que cumplen que su derivada es 0
· Mínimos
Si una función pasa a decrecer a crecer en un punto Xo en ese punto hay un mínimo relativo
Los puntos candidatos a ser mínimos relativos son aquellos que cumplen que su derivada es 0
Hay dos formas de hallar si un punto Xo, es máximo o mínimo
1. Criterio de la Primera Derivada
Hay que hacer un estudio del crecimiento y decrecimiento de la función f
Es el método o teorema utilizado para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c.
Si 
cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)).
Si cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f(c)).
Si es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo.
2. Criterio de la Segunda Derivada
La segunda derivada de una función f mide la concavidad de la gráfica de f. Una función cuya segunda derivada es positiva será cóncava hacia arriba (también conocida como convexa), lo que significa que la línea tangente estará debajo de la gráfica de la función.
Sea f una función tal que = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c.
Si > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f(c))
Si < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f(c))
Si = 0, entonces el criterio falla. Eso es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.
3. Criterio de la Tercera Derivada
Es un método del cálculo matemático en el que se utiliza la tercera derivada de una función para confirmar o comprobar los puntos de inflexión obtenidos a partir de la segunda derivada. Es un caso particular del Criterio de la derivada de mayor orden.
Procedimiento
1. Calcular las derivadas segunda y tercera de f(x)
2. Hallar los puntos que cumplen f´´(x) = 0
3. Evaluar f´´´(x) = 0 con los valores obtenidos en el paso anterior. Si es diferente de 0; entonces, es un punto de inflexión. En caso contrario, se debe usar el criterio de la derivada de mayor orden: si y solo si el menor orden de las derivadas superiores diferentes de cero es impar; el punto evaluado corresponde a uno de inflexión.
4. En la función original calculamos los valores de las ordenadas según se trate de una o de varias.
Preguntas
1. ¿Cómo se obtienen los máximos?
2. ¿Cómo se obtienen los mínimos?
3. ¿Qué pasa con los máximos relativos, si cambia de positiva a negativa en c?
Los puntos candidatos a ser máximos relativos son aquellos que cumplen que su derivada es 0
· Mínimos
Si una función pasa a decrecer a crecer en un punto Xo en ese punto hay un mínimo relativo
Los puntos candidatos a ser mínimos relativos son aquellos que cumplen que su derivada es 0
Hay dos formas de hallar si un punto Xo, es máximo o mínimo
1. Criterio de la Primera Derivada
Hay que hacer un estudio del crecimiento y decrecimiento de la función f
Es el método o teorema utilizado para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c.
Si cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)).
Si cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f(c)).
Si es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo.
2. Criterio de la Segunda Derivada
La segunda derivada de una función f mide la concavidad de la gráfica de f. Una función cuya segunda derivada es positiva será cóncava hacia arriba (también conocida como convexa), lo que significa que la línea tangente estará debajo de la gráfica de la función.
Sea f una función tal que = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c.
Si > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f(c))
Si < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f(c))
Si = 0, entonces el criterio falla. Eso es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.
3. Criterio de la Tercera Derivada
Es un método del cálculo matemático en el que se utiliza la tercera derivada de una función para confirmar o comprobar los puntos de inflexión obtenidos a partir de la segunda derivada. Es un caso particular del Criterio de la derivada de mayor orden.
Procedimiento
1. Calcular las derivadas segunda y tercera de f(x)
2. Hallar los puntos que cumplen f´´(x) = 0
3. Evaluar f´´´(x) = 0 con los valores obtenidos en el paso anterior. Si es diferente de 0; entonces, es un punto de inflexión. En caso contrario, se debe usar el criterio de la derivada de mayor orden: si y solo si el menor orden de las derivadas superiores diferentes de cero es impar; el punto evaluado corresponde a uno de inflexión.
4. En la función original calculamos los valores de las ordenadas según se trate de una o de varias.
Preguntas
1. ¿Cómo se obtienen los máximos?
2. ¿Cómo se obtienen los mínimos?
3. ¿Qué pasa con los máximos relativos, si cambia de positiva a negativa en c?