Przykład 1.3

Zbadamy różniczkowalność funkcji określonej wzorem

Rozwiązanie: Rozważmy pomocnicze funkcje

takie, że

dla

oraz

dla

. Ponieważ funkcje te są różniczkowalne dla

, więc

dla

oraz

dla

. Jedynym punktem, w którym funkcja

może nie być różniczkowalna jest punkt ,,sklejenia funkcji", czyli punkt

. Sprawdzimy zatem, czy

Z obliczeń w wierszu 5 i 6 wynika odpowiednio, że

oraz

. Ponieważ

, więc funkcja

jest nie jest różniczkowalna w

. Ostatecznie mamy

Ćwiczenie 1.

Co można powiedzieć o różniczkowalności funkcji

Zmodyfikuj wzór funkcji

zmieniając jej definicję dla

tak, aby

była różniczkowalna w