from pencils of circles to elliptic functions
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Die Kreise eines elliptischen Kreisbüschels durch 2 Brennpunkte f1, f2 sind als Bahnkurven durch die
charakterisiert. Die Differentialgleichung erzeugt in der komplexen Ebene ein Vektorfeld, deren Lösungskurven
die Kreise durch f1, f2 sind.
Ein zweites elliptisches Kreisbüschel mit den Brennpunkten f3, f4 wird durch eine analoge Differentialgleichung beschrieben.
Das "Produkt"
- ist die Differentialgleichung einer elliptischen Funktion ,
wenn die 4 Brennpunkte verschieden sind.
Die Lösungskurven dieser Differentialgleichung sind Winkelhalbierende der Kreise aus den
beiden elliptischen Kreisbüscheln:
Durch jeden Punkt der Ebene (von den Brennpunkten abgesehen) geht aus jedem der beiden Kreisbüschel genau ein Kreis.
Man lege im obigen Applet die Punkte p2 und p übereinander (p2 p); es ist dann , das ist genau
die winkelhalbierende Richtung; eine Folge der geometrischen Eigenschaften der komplexen Multiplikation!
Ein analoges Ergebnis erhält man, wenn eines der beiden Kreisbüschel hyperbolisch ist; die Lösungskurven schneiden
die des 1. Beispiels unter 45°. 