Triángulo equilátero a partir de distancias a los vértices
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¿Cuando hay dos soluciones, una o ninguna?
Con ayuda del teorema del coseno puede mostrarse que las distancias y el lado de del triángulo verifican la relación sorprendentemente simétrica .
O resolviendo la ecuación bicuadrada para por ejemplo d:
Aquí se demuestra y se hace un pequeño estudio del caso en que las cuatro distancias sean enteras: DistTriEqui.pdf. Curiosamente, 1729 (número de Hardy-Ramanujan) es el mínimo lado entero de un triángulo equilátero, el mayor de los dos posibles, para el que hay tres conjuntos de puntos interiores no equivalentes a distancias enteras de sus vértices: {211, 1541, 1560}, {195, 1544, 1591} y {824, 915, 1591}. En el último caso, el punto D no es interior al matyor de los dos triángulos.
Utilizando las flechas del teclado en combinación con la tecla [Mayús], empleando decimales, pueden comprobarse, así como las demás soluciones enteras relacionadas al final de DistTriEqui.pdf.