Douze points sur l'axe orthique
Données
Soit ABC un triangle et cercle (c) son cercle circonscrit, de centre O ;
On désigne par H son orthocentre.
AA1, BB1, CC1 : les trois hauteurs, A1, B1, C1 les pieds des hauteurs, formant le triangle orthique, inscrit dans le cercle d'Euler (c’) du triangle ABC ;
Ω, milieu de [OH], est le centre du cercle d'Euler ;
A", B", C" : les milieux des segments [AH], [BH], [CH], situés sur le cercle d'Euler ;
A2, B2, C2 : les intersections des trois hauteurs avec le cercle circonscrit (c), symétriques de l'orthocentre ;
P, Q, R : les intersections des droites (BC, B1C1), (CA, C1A1), (AB, A1B1) ;
P’, Q’, R’ : les intersections de (B"C", B2C2), (C"A", C2A2), (A"B", A2B2) ;
I, J, K : les intersections de (B1C", BC2), (C1A", CA2), (A1B", AB2) ;
I’, J’, K’ : les intersections de (C1B", CB2), (A1C", AC2), (B1A", BA2);
P1, Q1, R1 : les intersections de (B"C", B1C1), (C"A", C1A1), (A"B", A1B1) ;
I1, J1, K1 : les intersections de (B"C1, C"B1), (A"C1, C"A1), (B"A1, A"B1) ;
P2, Q2, R2 : les intersections de (BC, B2C2), (CA, C2A2), (AB, A2B2) ;
I2, J2, K2 : les intersections de (BC2, CB2), (CA2, AC2), (AB2, BA2).
Agrandir la figure pour distiinguer tous les points.
Les points P, Q, R sont alignés sur un même droite Δ, axe orthique du triangle, axe radical des deux cercles (c) et (c’),
Les neuf autres points : P’, Q’, R’, I, J, K, I’, J’, K’ appartiennent à cet axe. Cet axe Δ contient donc douze points remarquables ;
Les six points P1, Q1, R1, I1, J1, K1 appartiennent à une droite D1, polaire de H par apport au cercle d'Euler ;
Les six points P2, Q2, R2, I2, J2, K2 appartiennent à une droite D2, polaire de H par apport au cercle circonscrit ;
L'axe Δ est perpendiculaire à la droite d'Euler (l'axe radical des deux cercles est perpendiculaire à la ligne des centres OΩ) ;
Les droites D1, D2 et Δ sont parallèles et l'axe Δ est équidistant de D1 et de D2 ;
Par l'homothétie de centre H, de rapport 2, D2 est l'image de D1, les points P1, Q1, R1, I1, J1, K1 ont respectivement pour images P2, Q2, R2, I2, J2, K2.
Application : détermination du centre du cercle d'Euler
Descartes et les Mathématiques - Axe orthique