LA ECUACIÓN CÚBICA: El trabajo de Omar Al Khayyam.

PRESENTACIÓN El desarrollo algebraico de la solución de la ecuación cúbica desarrollado en el siglo XVI y que se condensa en la fórmula de Tartaglia - Cardano es ampliamente divulgado en la literatura académica pero poco utilizado en el ámbito escolar tal vez por lo poco práctico de las expresiones algebraicas que requieren las fórmulas. Los trabajos de carácter geométrico alrededor de este tema no son tan divulgados, por ello, en este trabajo, se implementan los desarrollos realizados en esta dirección por el matemático árabe del Siglo XI, Omar Al Khayyam. Este libro está conformado por un único capítulo en el cual se presentan, utilizando el método desarrollado por Al Khayyam para resolver la ecuación de grado tres, los catorce casos considerados por este, que no pueden resolverse con el uso de herramientas Euclidianas. Cada actividad consta de tres secciones; en la primera se describe, de forma teórica, la construcción desarrollada por Al Khayyam, en la segunda se implementa, en GeoGebra, esta construcción y en la tercera se presenta, utilizando elementos de Geometría Analítica, una demostración de que efectivamente el método utilizado proporciona una raíz de la ecuación considerada. En algunos de los casos considerados por Al Khayyam se deben analizar varios subcasos que dependen de los coeficientes de la ecuación. En líneas generales, en esta situación, se ha considerado un solo caso y se ha superpuesto la solución algebraica para evitar que al mover los deslizadores se “pierda” la solución. Aunque, en la época de Al Khayyam, no se consideraban como válidas las soluciones negativas, Ud. Debe observar que el método proporciona las soluciones que existen en cada caso considerado. Una referencia para el desarrollo de las construcciones es el trabajo de grado LA SOLUCIÓN GEOMÉTRICA DE LA ECUACIÓN DE TERCER GRADO SEGÚN OMAR AL KHAYYAM. Potencialidades de su uso en la formación profesional de un profesor de matemáticas; desarrollado por María Camila Espinosa, bajo la orientación de la profesora Lígia Amparo Torres de la Universidad del Valle. En este trabajo se realiza un tratamiento, que utiliza geometría sintética y el lenguaje retórico de esa época.

LOS 14 CASOS CONSIDERADOS POR AL KHAYYAM

Elementos históricos sobre la solución de la ecuación cúbica. Desde la antigüedad se conocían métodos geométricos para resolver ecuaciones cuadráticas, en particular, los griegos y los árabes los aplicaban para resolver casos particulares de esta ecuación. Por ejemplo Al-Khwarizmi, alrededor del año 820 d. C., en su trabajo “El estudio de las ecuaciones y los métodos para resolverlas”, realiza un estudio completo y detallado de solución de las ecuaciones de grado dos, excepto para la ecuación la cual en aquella época no tenía sentido. Una situación absolutamente diferente se presentaba en relación con la solución de la ecuación cúbica, inicialmente los babilonios, alrededor de 1700 a. C., presentaron soluciones exactas y aproximadas de ciertas ecuaciones de grado tres con base en tablas de sumas de cuadrados y cubos. Menecno, Arquímedes y Diofanto resolvieron algunas ecuaciones cúbicas particulares, utilizando secciones cónicas. Omar Al Khayamm, en el siglo XI, generalizó este método para encontrar raíces positivas de ecuaciones de grado tres, aunque consideraba que para estas ecuaciones no era posible dar soluciones aritméticas. Al Khayyam, realizó una clasificación de las ecuaciones de grado menor o igual a tres en 25 formas diferentes; once de las cuales podían ser resueltas con regla y compas y catorce no podían ser tratadas con ayuda exclusiva de los Elementos de Euclides; el principal aporte de Al Khayyam consistió en presentar, mediante consideraciones geométricas y utilizando algunas proposiciones de Euclides y Apolonio, la solución de los 14 casos, mediante la intersección de secciones cónicas. La solución algebraica de las ecuaciones cúbicas tuvo que esperar hasta 1504, cuando Del Ferro, Tartaglia y Cardano determinaron la fórmula para las raíces de esta ecuación, que en la actualidad se conoce como la fórmula de Tartaglia - Cardano. Esta fórmula fue publicada por Cardano en su Ars Magna, en 1545, y posteriormente diversos matemáticos contribuyeron a la solución de las ecuaciones cúbicas y cuárticas, entre ellos se encuentran, Vièta, Harriot, Tschirnhaus, Euler, Bezout, Lagrange y Descartes los cuales propusieron métodos originales.