Zusammenhang zwischen den Graphen von f und f''
Aufgabe 1:
Untersuche, welche Zusammenhänge zwischen der Funktion f und ihrer zweiten Ableitung f“ bestehen. Finde möglichst viele. Betrachte dabei auch besondere Punkte.
Eigenschaft von f Eigenschaft von f'' Der Graph von f ist rechtsgekrümmt im Intervall I. Der Graph von f'' ...
Aufgabe 2:
Erkläre mit Hilfe des Graphen von f den Begriff „Wendepunkt“. Tipp: Du kannst dir mit dem Kontrollfeld „Wendepunkte einzeichnen“ die Punkte anzeigen lassen.
Aufgabe 3:
Beurteile die Aussagen. Aussage 1: Wenn f an der Stelle x einen Wendepunkt hat, dann hat f“ an der Stelle x eine Nullstelle. Aussage 2: Wenn f“ an der Stelle x eine Nullstelle hat, dann hat f an der Stelle x einen Wendepunkt.
Aufgabe 4:
In Aufgabe 3 hat du gesehen, dass an der Stelle eines Wendepunkts immer gelten muss: f“(x) = 0. Man spricht auch hier von der notwendigen Bedingung. Sie reicht aber offenbar nicht aus, wenn Wendepunkte gesucht werden, denn diese Bedingung ist auch im Sattelpunkt (1|f(1)) erfüllt.
Finde eine hinreichende Bedingung für Wendepunkte.
Tipp: Überlege, wie die 3. Ableitung an den entsprechenden Stellen aussieht.
Wenn... Dann ... ... an der Stelle x ein Wendepunkt vorliegt, ... an der Stelle x ein Sattelpunkt vorliegt,
Aufgabe 5:
Formuliere nun zusammenfassend Bedingungen, so dass richtige Aussagen entstehen:
Eigenschaft von f Eigenschaft von f'' Wenn... dann hat f an der Stelle x einen Wendepunkt mit einer Krümmungsänderung von rechts nach links. dann hat f an der Stelle x einen Wendepunkt mit einer Krümmungsänderung von links nach rechts ... Dann hat f an der Stelle x einen Sattelpunkt.