Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion
Ein Beispiel:
In eine Käserei wird Milch im Kühlwagen angeliefert und hat eine Temperatur von 2°C. Zum Pasteurisieren wird sie erwärmt. Dabei steigt die Temperatur pro Minute um 4°C an.
Die Wertetabelle zeigt, wie sich die Temperatur entwickelt:
Der Käser sucht nun eine Formel, mit der er die Temperatur der Milch für jeden beliebigen Zeitpunkt x berechnen kann. Anders ausgedrückt:
er sucht die Funktionsgleichung der Funktion f(x), die den Verlauf der Temperatur in Abhängigkeit von der Zeit x angibt.
Wir erkennen:
Den Wert der Temperatur zum Zeitpunkt x - und das heisst der Funktionswert von f(x) zum
Zeitpunkt x - berechnet man, indem man zum Anfangswert 2 den Zuwachs von 4 pro Zeitschritt x-mal addiert:
Das kann man verallgemeinern, indem man den Anfangswert (d.h. den Funktionswert bei x = 0) durch den Platzhalter b und den Zuwachs pro Zeitschritt durch den Platzhalter ersetzt:
Wir erkennen:
Allgemein gilt für den Funktionswert einer linearen Funktion bei einem beliebigen x-Wert:
Fazit:
Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion mit dem Zuwachs pro Zeitschritt a
und dem Anfangswert b lautet:
Der Käser sucht nun eine Formel, mit der er die Temperatur der Milch für jeden beliebigen Zeitpunkt x berechnen kann. Anders ausgedrückt:
er sucht die Funktionsgleichung der Funktion f(x), die den Verlauf der Temperatur in Abhängigkeit von der Zeit x angibt.
Wir erkennen:
Den Wert der Temperatur zum Zeitpunkt x - und das heisst der Funktionswert von f(x) zum
Zeitpunkt x - berechnet man, indem man zum Anfangswert 2 den Zuwachs von 4 pro Zeitschritt x-mal addiert:
Das kann man verallgemeinern, indem man den Anfangswert (d.h. den Funktionswert bei x = 0) durch den Platzhalter b und den Zuwachs pro Zeitschritt durch den Platzhalter ersetzt:
Wir erkennen:
Allgemein gilt für den Funktionswert einer linearen Funktion bei einem beliebigen x-Wert:
Fazit:
Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion mit dem Zuwachs pro Zeitschritt a
und dem Anfangswert b lautet:
Aufgabe
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