La Curva de Koch
La curva de Koch
Helge Von Koch (1870-1924) fue un matemático noruego que dedicó casi todas sus investigaciones a la teoría de números, llegando a demostrar la equivalencia entre la hipótesis de Riemman y la forma fuerte del teorema de los números primos. En uno de los escasos trabajos que dedicó a la geometría, en el año 1904, describe uno de los primeros fractales conocidos: la curva de Koch. Este fractal se forma a partir de un segmento, por la sustitución de su tercio central por dos segmentos de longitud también un tercio, pero formando ángulos de 60º.
Este proceso se repite recursivamente en cada segmento obtenido...
Helge Von Koch (1870-1924) fue un matemático noruego que dedicó casi todas sus investigaciones a la teoría de números, llegando a demostrar la equivalencia entre la hipótesis de Riemman y la forma fuerte del teorema de los números primos. En uno de los escasos trabajos que dedicó a la geometría, en el año 1904, describe uno de los primeros fractales conocidos: la curva de Koch. Este fractal se forma a partir de un segmento, por la sustitución de su tercio central por dos segmentos de longitud también un tercio, pero formando ángulos de 60º.
Este proceso se repite recursivamente en cada segmento obtenido...
Actividad:
a) En el siguiente espacio, reproduce el fractal hasta llegar a la cuarta iteración, partiendo del segmento AB de 27 unidades de longitud:
b) Escribe los primeros cuatro términos de y halla una expresión para su término general. Se sugiere considerar tu construcción anterior tomando la longitud del segmento AB igual a 1 unidad.
c) Demuestra que es monótona creciente.
d) Calcula la longitud de la poligonal completa y demuestra, aplicando la definición de límite, que dicho resultado es correcto.
Verifica tu trabajo realizado hasta el momento a través del siguiente applet:
Si realizamos el proceso anterior pero ahora sobre los lados de un triángulo
equilátero, obtenemos el fractal copo de nieve:
Mueve el deslizador en el siguiente applet y podrás observar, a través de la iteraciones, el copo de nieve:
e) ¿Cómo expresarías el perímetro de la figura de la etapa del proceso?
f) ¿Cómo se comporta el perímetro a medida que va aumentando el número de iteraciones? Sugerencia: Piensa en el siendo la sucesión de las actividades anteriores.
g) ¿Observar algún tipo de simetría en el fractal obtenido?, ¿a qué se debe?