Algorytm, przykład 3.1- stara wersja
Z II warunku wystarczającego istnienia ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej i twierdzenia o istnieniu i różniczkowalności funkcji uwikłanej, przedstawionego w pierwszym rozdziale tej książki (przykłady 1.2 i 1.3), wynika następujące twierdzenie, które będziemy dalej wykorzystywać do wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji uwikłanych:
Jeśli funkcja dwóch zmiennych posiada ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w otoczeniu punktu oraz
1) , , ,
2) ,
to funkcja uwikłana równaniem i spełniająca warunek , ma w ekstremum lokalne o wartości , przy czym jest to maksimum, gdy oraz minimum, gdy .
| ! | 1) Zwróćmy uwagę, że jeśli jest punktem stacjonarnym funkcji uwikłanej , to . 2) Analogiczne twierdzenie zachodzi również dla funkcji uwikłanych zmiennej . |
Aby za pomocą GeoGebry wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej, postępujemy zgodnie z poniższą instrukcją:
1. W Widoku CAS definiujemy pomocniczą funkcję .
2. Wyznaczamy pochodne cząstkowe , i korzystając z polecenia Pochodna(...).
3. Rozwiązujemy poniższy układ równań stosując polecenie Rozwiąż(...) lub Rozwiązania(...):
4. Jeśli jest rozwiązaniem układu równań , to sprawdzamy, czy i . Formułujemy odpowiedź w zależności od znaku wyrażenia .Przykład.
Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji uwikłanej równaniem:
.
Rozwiązanie:Otrzymaliśmy dwa punkty, w których mogą wystąpić ekstrema lokalne.
Dla punktu mamy: i , zatem w otoczeniu punktu istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana , której wykres przechodzi przez punkt . Ponadto i , co oznacza, że funkcja uwikłana ma w maksimum lokalne równe .
Dla punktu mamy: i , zatem w otoczeniu punktu istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana , której wykres przechodzi przez punkt . Ponadto i , co oznacza, że funkcja uwikłana ma w minimum lokalne równe .