Einfache Exponentialgleichungen
Bei der praktischen Anwendung von Exponentialfunktionen muss man sogenannte Exponentialgleichungen lösen. Das kann man einerseits durch
- Probieren/Testeinsetzungen oder
- einen Grafikrechner oder
- Rechnungen mit Hilfe von Logarithmen
Problemstellung
Folgende Exponentialgleichung soll gelöst werden: .
Das heißt: Für welchen Wert von x gilt die Gleichung?
Lösen durch Probieren/Testeinsetzungen
Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung durch Ausprobieren. Erklären Sie Ihre Vorgehensweise.
Lösen mittels Grafikrechner
Um die Exponentialgleichung graphisch zu lösen, betrachten wir den Graphen der Funktion :
Bestimmen Sie die Lösung der Exponentialgleichung mithilfe des Graphen oben. Erklären Sie Ihre Vorgehensweise.
Die rechnerische Lösung
Sie können die Exponentialgleichung auch rechnerisch lösen, indem Sie die Gleichung nach umstellen. Da im Exponenten steht, benötigen Sie den sogenannten Logarithmus. Dieser ist eine Umkehrung des Potenzierens, mit dem man den Exponenten berechnet.
Frau Aksoy löst die Exponentialfunktion wie folgt:
Man spricht: ist der Logarithmus von zur Basis .
Allgemein: Man spricht: ist der Logarithmus von zur Basis .
Überprüfen Sie mit dem obenstehenden Computer-Algebra-System (CAS), ob Frau Aksoy die Gleichung richtig aufgelöst hat. Befolgen Sie dabei folgende Schritte:
- Geben Sie die Gleichung in das Eingabefeld ein.
- Klicken sie in der Menüleiste auf den Button . Dieser berechnet die Lösung der Exponentialgleichung numerisch.
Jetzt sind Sie dran!
Bearbeiten Sie im Buch S. 203 Nr. 6.
Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse mit GeoGebra.