Ancora problemi esponenziali (disequazioni)
LA NOSTRA PRIMA DISEQUAZIONE ESPONENZIALE
Iniziamo come al solito da un problema numericamente molto semplice:
In una riserva vengono messi dei lupi a rischio di estinzione perché possano riprodursi. I lupi iniziali sono 6, e raddoppiano ogni decennio.
La normativa sulla caccia impedisce di cacciare animali di cui sono presenti meno di 96 esemplari. Quando bisognerà intervenire e dividere la popolazione di lupi in due riserve separate per evitare che i cacciatori possano iniziare a cacciare e distruggano il lavoro svolto?
La funzione che fornisce il numero di lupi dopo decenni è
Vogliamo sapere in quale periodo i lupi saranno al sicuro perché sono meno di 96, quindi impostiamo la disequazione
Procediamo come al solito isolando la potenza con l'incognita
Dato che abbiamo
Dato che la prima potenza deve essere minore della seconda, e che al crescere dell'esponente la prima potenza aumenta (ogni volta che aumenta il numero di decenni trascorsi aumenta, il numero di lupi viene moltiplicato per 2 e quindi cresce), il primo esponente deve essere minore del secondo, cioè : bisogna intervenire entro 4 decenni, ovvero 40 anni, e dividere i lupi, altrimenti saranno raddoppiati troppe volte (e rischieranno di essere cacciati).
QUALE DIFFERENZA CON LE EQUAZIONI?
Abbiamo risolto la nostra prima disequazione in modo del tutto identico a quello utilizzato per le equazioni:
- isolare la potenza che contiene l'incognita
- riscrivere i due membri come potenze con la stessa base
- confrontare gli esponenti
Nelle disequazioni esponenziali quindi bisogna prestare attenzione al valore della base: se la base è minore di 1, la funzione è decrescente, esponente e risultato hanno andamenti opposti: maggiore è l'esponente, minore è il risultato della potenza e viceversa. Di conseguenza se si vuole un risultato maggiore bisogna considerare esponenti minori e viceversa.
Ne consegue che se la base è minore di 1 quando si passa a confrontare gli esponenti bisogna invertire il verso della disequazione.
Vediamo un altro esempio un po' diverso dal solito.
Ad un picnic mi dimentico un panino sulla tovaglia ed ogni minuto che passa le formiche mangiano il 7% del panino che è rimasto. Entro quanto tempo devo salvare il panino per trovarne almeno la metà?
Chiamiamo la quantità iniziale di panino (potrebbe essere misurata in grammi, ad esempio). Dato che le formiche ne fanno sparire il ogni minuto che passa, ogni volta ne resta il , quindi la quantità di panino rimasto è data dalla funzione:
Impostiamo la disequazione considerando che vogliamo almeno metà della quantità iniziale, cioè almeno (cioè voglio che ci sia più di metà, o come minimo uguale alla metà):
Isolando la potenza in cui compare l'incognita vediamo che il parametro sparisce, e quindi non influisce sulla soluzione del problema:
I due membri sono molto diversi ed apparentemente è impossibile esprimerli come potenze con la stessa base. Ricorriamo al concetto di logaritmo:
scegliamo una base di riferimento - prendiamo perché è quella in cui compare l'incognita
riscriviamo l'altra quantità come potenza con quella base usando il corrispondente logaritmo;
ricordiamo che questa espressione, apparentemente complessa, dice in realtà una banalità, cioè che posso ottenere elevando ... all'esponente che devo dare a per ottenere !
A questo punto posso riscrivere la disequazione usando la base comune:
È il momento di confrontare gli esponenti, ma dato che la base è minore di 1, devo invertire il verso della disequazione: più passa i minuti, più il panino DIMINUISCE - se voglio che rimanga PIÙ di una certa quantità devo prendere un esponente MINORE.
Ottengo quindi che avrò almeno metà panino per
Per ottenere il valore di passo in base naturale usando la formula di cambio base e poi uso la calcolatrice:
Di conseguenza devo prendere il panino entro minuti e secondi, o ne troverò meno della metà.