Gerade – Ebene

Heute wollen wir uns mit Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen auseinandersetzen. Du brauchst dazu:

Spaghetti (möglich ist auch ein Schaschlikspieß, Strohhalm oder zur Not auch ein dünner Stift)
eine Spielkarte (möglich ist auch ein Notizzettel oder ein Stück Pappe)
ggf. ein bisschen Knete/Klebeband

Nimm die Spaghetti und die Spielkarte in deine Hände und positioniere sie wie auf dem Bild. Stell dir dabei vor die Spaghetti wäre eine Gerade und die Spielkarte eine Ebene.

Aufgabe 1: Erarbeitung der möglichen Lagebeziehungen

a) Wie kann man deren gegenseitige Lage beschreiben? b) Verändere nun die Lage der Spaghetti und der Spielkarte. Welche verschiedenen Lagebeziehungen sind nun möglich?

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Erarbeitung eines Fließdiagramms

Um nun damit zu arbeiten oder die Lagebeziehung rechnerisch zu ermitteln, eignet sich die Erstellung eines Fließdiagrammes. Dafür findest du unterhalb ein GeoGebra Notizfeld, wenn du möchtest, kannst du das Fließdiagramm aber auch mit Zettel und Stift anfertigen. Was genau rein kommt, verraten dir die folgenden Aufgaben, die du mit Hilfe des GeoGebra Appletts (ebenfalls unterhalb) lösen kannst. Viel Spaß dabei!

Aufgabe 2: Übertragung in ein Koordinatensystem

Ziel ist es nun, die bisherigen Ideen in ein Koordinatensystem und schlussendlich ein Fließdiagramm zu überführen. Folgende Begriffe/Konzepte solltest du dabei beherrschen:

Geradengleichung (Richtungsvektor, Stützvektor)
Ebenengleichungen (Parametergleichung, Koordinatengleichung, Normalenvektor und Zusammenhang zur Koordinatengleichung)
Lineare Abhängigkeit
Skalarprodukt

Betrachte nun das Koordinatensystem mit der Geraden

und der Ebene in Koordinatenform

. Du findest die Geraden- und Ebenengleichung oben links in der Ecke. Du kannst die Gerade verändern, indem du die Koordinaten des Punktes

mit Hilfe der Schieberegler anpasst. Du kannst auch die Parameter a, b, c, d der Koordinatenform der Ebene E (und damit auch den Normalenvektor

) mithilfe des Schiebereglers anpassen. a) Ermittle eine Geraden- und eine Ebenengleichung, sodass die Geraden und die Ebene parallel zueinander sind. b) Betrachte das Skalarprodukt des Normalenvektors der Ebene und des Richtungsvektors der Geraden. Was fällt auf und weshalb tritt dieses Phänomen auf? Fertige dafür eine kleine Skizze an. Du kannst dafür auch dein Material vom Anfang des Arbeitsblattes nutzen und mithilfe von Knete oder Klebeband und einer Spaghetti einen Normalenvektor auf deine Ebene basteln. c) Warum ist es sinnvoll, den Normalenvektor bzw. die Koordinatengleichung zu nutzen? Wäre auch die Nutzung eines Richtungsvektors der Ebene (in Parameterform) möglich? d) Was müsste passieren, damit die Gerade in der Ebene liegt? Tipp: Nutze zum Ändern der Perspektive die Items an der oberen rechten Ecke.

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Aufgabe 3

Nutze nun dein Wissen aus der letzten Aufgabe und dein Wissen zu linearer Abhängigkeit. a) Fertige eine Skizze an (oder nutze dein Material vom Anfang des Arbeitsblattes), in der sich die Ebene und die Gerade orthogonal schneiden. Zeichne/Bastele dafür auch den Richtungsvektor der Geraden sowie den Normalenvektor der Ebene ein. > Lösung: https://t1p.de/j8uq0 b) Bilde nun ein Beispiel für eine Gerade und eine Ebene, die sich orthogonal schneiden, im GeoGebra Applett nach. Worauf musst du achten? Wie verhalten sich der Richtungsvektor und der Normalenvektor der Ebene? c) Ermittle nun ein Beispiel, in dem sich Gerade und Ebene schneiden. Was musst du ändern?

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Aufgabe 4: Fließdiagramm

Nun kommen wir zum Fließdiagramm. Eine grobe Struktur hast du schon vorgegeben. Denke nun nochmal an die letzten beiden Aufgaben und nutze folgende Leitfragen als Hilfestellung. a) Wie unterscheiden sich der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Gerade, wenn die Gerade die Ebene schneidet, zum Normalenvektor und Richtungsvektor, wenn die Gerade und die Ebene parallel/identisch sind? b) Worin lag der Unterschied, wenn die Ebene und die Gerade parallel bzw. identisch sind. Worin lag der Unterschied, wenn die Ebene und die Gerade sich orthogonal schneiden oder in einem anderen Winkel schneiden? Lade dein Fließdiagramm anschließend in dieses Padlet: https://padlet.com/jessicaflecks/fnwn8a8hd52305eo

Fließdiagramm

Aufgabe 5: Schnittpunkt Gerade – Ebene

Bei Geraden und Ebenen ist es neben dem Fließdiagramm natürlich noch wichtig, den Schnittpunkt letztlich auch ermitteln zu können. a) Reaktiviere dafür dein Wissen zur Bestimmung des Schnittpunktes zweier Geraden. Beschreibe kurz deinen Vorgehen.

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