Jacobiano de las coordenadas esféricas con ángulos azimutal y polar
El Jacobiano de un cambio de variables en el espacio mide la variación de primer orden del elemento infinitesimal de volumen bajo el cambio de variables.
El objetivo de esta construcción es mostrar el cambio de un elemento infinitesimal de volumen bajo la acción del cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas en las que se usan el ángulo polar y el ángulo azimutal.
La variación de volumen es máxima en el ecuador y se reduce en los polos (es decir, cambia al desplazarnos por un meridiano) o lo que es lo mismo, cuando varía. El volumen se mantiene igual si nos desplazamos por los paralelos, es decir al variar . El volumen aumenta si aumenta el radio, o lo que es lo mismo al aumentar . La expresión del Jacobiano de las coordenadas esféricas en términos del ángulo azimutal y del polar es:
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Instrucciones:
Al mover los deslizadores de y se mueve el punto rojo sobre el rectángulo, y al mover el punto rojo y (en amarillo sobre la semirrecta) se mueve el punto rojo sobre la esfera. El volumen azul entre las esferas representa el elemento diferencial de volumen para esos valores de , y .
Al mover los deslizadores, o el punto rojo, el elemento diferencial de volumen cambia de posición pero también de tamaño. Es mayor cuanto más cerca del ecuador (cuando sea cercano a ) y menor cerca de los polos (cuando sea cercano a o ). También aumenta el volumen al aumentar . Sin embargo el volumen no cambia si solo se varía (solo cambia la posición). Es decir, el Jacobiano de las coordenadas esféricas en términos del ángulo polar no depende de , solo depende de y .